Czy jest prawdą, że dla dowolnego ciągu liczb nieujemnych \(\left(a_n \right)\) zachodzi nierówność:
\(\left( 1+a_1^2\right)\left( 1+a_2^2\right)...\left( 1+a_n^2\right) \ge \left( a_1+a_2\right)\left( a_2+a_3\right) ...\left( a_{n-1}+a_n\right)\) ?
nierówność
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
kuba [6]
- Czasem tu bywam
- Posty: 136
- Rejestracja: 13 lip 2012, 18:12
- Podziękowania: 30 razy
- Otrzymane podziękowania: 52 razy
- Płeć:
Tak.
Kiedy dowolny czynnik iloczynu po prawej stronie równania jest równy 0, nierówność jest oczywiście prawdziwa.
Niech teraz wszystkie te czynniki będą dodatnie. Nierówność przepiszmy w postaci:
\(\frac{ \sqrt{(1+a_1^2)(1+a_2^2)} }{a_1+a_2} \cdot \ldots \cdot \frac{ \sqrt{(1+a_{n-1}^2)(1+a_n^2)} }{a_{n-1}+a_n} \cdot \sqrt{(1+a_1^2)(1+a_n^2)} \ge 1\).
Zauważmy, że \(\frac{ \sqrt{(1+a_i^2)(1+a_j^2)} }{a_i+a_j} \ge 1\). Aby tego dowieść, mnożymy obustronnie przez mianownik, podnosimy nierówność obustronnie do kwadratu, redukujemy wyrazy podobne i zwijamy do \((a_i \cdot a_j -1)^2 \ge 0\). Ponadto zachodzi nierówność: \(\sqrt{(1+a_1^2)(1+a_n^2)} \ge 1\).
To dowodzi prawdziwości nierówności, przy czym równość nigdy nie zajdzie.
Kiedy dowolny czynnik iloczynu po prawej stronie równania jest równy 0, nierówność jest oczywiście prawdziwa.
Niech teraz wszystkie te czynniki będą dodatnie. Nierówność przepiszmy w postaci:
\(\frac{ \sqrt{(1+a_1^2)(1+a_2^2)} }{a_1+a_2} \cdot \ldots \cdot \frac{ \sqrt{(1+a_{n-1}^2)(1+a_n^2)} }{a_{n-1}+a_n} \cdot \sqrt{(1+a_1^2)(1+a_n^2)} \ge 1\).
Zauważmy, że \(\frac{ \sqrt{(1+a_i^2)(1+a_j^2)} }{a_i+a_j} \ge 1\). Aby tego dowieść, mnożymy obustronnie przez mianownik, podnosimy nierówność obustronnie do kwadratu, redukujemy wyrazy podobne i zwijamy do \((a_i \cdot a_j -1)^2 \ge 0\). Ponadto zachodzi nierówność: \(\sqrt{(1+a_1^2)(1+a_n^2)} \ge 1\).
To dowodzi prawdziwości nierówności, przy czym równość nigdy nie zajdzie.