dowód nierówności

[radagast]

wykaż, że jeżeli \(a,b,c \ge 0\) to \(\frac{1+a^2}{b+c}+ \frac{1+b^2}{a+c}+ \frac{1+c^2}{a+b} \ge 3\)

[Panko]

Pokazanie szacowania przez liczbę 2 jest banalne bo

\(\frac{1+a^2}{b+c} >\frac{1+a^2}{a+b+c}\) ; \(\frac{1+b^2}{a+c} >\frac{1+b^2}{b+a+c}\) , \(\frac{1+c^2}{a+b} >\frac{1+c^2}{c+a+b}\) stąd

\(\frac{1+a^2}{b+c} + \frac{1+b^2}{a+c} + \frac{1+c^2}{a+b} >\frac{1+a^2}{a+b+c} + \frac{1+b^2}{b+a+c} + \frac{1+c^2}{c+a+b}\) =\(\frac{a^2+b^2+c^2 +3}{a+b+c}\)\(\ge 2\) \(\\) bo

\((a-1)^2+(b-1)^2 +(c-1)^2 \ge 0\)

ale to chyba ślepa uliczka bo zostaje przepracować poprawkę co jest trudniejsze od pierwotnej nierówności
\(\frac{1+a^2}{b+c} =\frac{1+a^2}{a+b+c} + \frac{1+a^2}{b+c} \cdot \frac{a}{ a+b+c}\)

[kuba [6]]

Prawdą jest, że: \(1+a^2 \ge 2a\). Stosując to także dla zmiennych \(b\) i \(c\):
\(\frac{1+a^2}{b+c}+ \frac{1+b^2}{a+c}+ \frac{1+c^2}{a+b} \ge \frac{2a}{b+c}+ \frac{2b}{a+c} + \frac{2c}{a+b}\), czyli pozostaje pokazać:
\(\frac{a}{b+c}+ \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \ge \frac{3}{2}\), a to jest znana nierówność Nesbitte'a.

[Panko]

Bo dobry Bóg , już zrobił co mógł , teraz trzeba zawołać fachowca