podzielność liczb

[sylwia990116]

1. Udowodnij ,że jeśli\(a,b \in C\) i \(a^2+119ab+b^2\) jest podzielne przez 11 to \(a^3-b^3\) tez dzieli się przez 11
2.Udowodnij ,że \(\forall n \in N\ \ n^5-5n^3+4n\) jest podzielne przez 120
3.Znajdz wszystkien liczby pierwsze x,y,z spełniają równanie x*y*z=5(x+y+z)
4. Wyznacz wszystkie \(k \in C\) dla których \(k^2+4k+9\) jest podzielne przez \(k+1\)
5. Udowodnij ,że jeśli liczby dodatnie ai b spełniają \(\frac{a+b}{2} = \sqrt{ab+3}\) to przynajmniej jedna z niech jest niewymierna
6 Udowodnij ,że \(\forall a,b,c >0\) \(a+b+c=1\) zachodzi \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 9\)
7 Udowodnij ,że liczba \(7231351423002\) nie jest sześcianem żadnej licby naturalnej

[korki_fizyka]

viewtopic.php?f=29&t=12617

[radagast]

4. Wyznacz wszystkie \(k \in C\) dla których \(k^2+4k+9\) jest podzielne przez \(k+1\)

\(k^2+4k+9=(k+1)(k+3)+6\)
To jest podzielne przez \(k+1\) gdy \(6\) dzieli się przez \(k+1\). No to jakie może być \(k+1\) ?

[kerajs]

1. Udowodnij ,że jeśli\(a,b \in C\) i \(a^2+119ab+b^2\) jest podzielne przez 11 to \(a^3-b^3\) tez dzieli się przez 11

Wsk:
\(11|(a^2+119ab+b^2) \So 11|((a-b)^2+121ab) \So 11|(a-b)\)

2.Udowodnij ,że \(\forall n \in N\ \ n^5-5n^3+4n\) jest podzielne przez 120

Indukcja lub:
\(n^5-5n^3+4n=n(n^2-4)(n^2-1)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)\)

3.Znajdz wszystkien liczby pierwsze x,y,z spełniają równanie x*y*z=5(x+y+z)

Niech x=5, to wtedy masz łatwiejsze zadanie:
Znajdź wszystkie liczby pierwsze x,y,z spełniają równanie \(y \cdot z=5+y+z\)
Odp: Równanie spełnia tylko trójka (2,5,7)

5. Udowodnij ,że jeśli liczby dodatnie ai b spełniają \(\frac{a+b}{2} = \sqrt{ab+3}\) to przynajmniej jedna z niech jest niewymierna

\(a^2+2ab+b^2=4ab+12\\
(a-b)^2=12\\
|a-b|=2 \sqrt{3}\)

6 Udowodnij ,że \(\forall a,b,c >0\) \(a+b+c=1\) zachodzi \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 9\)

\(L=\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} =3 \cdot \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} }{3} \ge 3 \cdot \frac{3}{a+b+c} = \frac{9}{a+b+c}=9=P\)

7 Udowodnij ,że liczba \(7231351423002\) nie jest sześcianem żadnej licby naturalnej

Sześcian jakiej cyfry kończy się ósemką ?
Sześcian jakiej liczby dwucyfrowej kończy się układem 08?