podzielność liczb

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
sylwia990116
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 31 paź 2017, 20:03
Płeć:

podzielność liczb

Post autor: sylwia990116 »

Udowodnij,że jeśli n \in N dzieli się przez5 z resztą 11 to n^8+3n^4-4 dzieli sie przez 100
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: podzielność liczb

Post autor: kerajs »

sylwia990116 pisze:Udowodnij,że jeśli n \in N dzieli się przez5 z resztą 11 to n^8+3n^4-4 dzieli sie przez 100
Dziwna ta treść skoro resztę 11 można dalej dzielić przez 5 dostając resztę 1.

1)
a)
\(n^8+3n^4-4=(n^4+4)(n^4-1)=(n^4+4)(n^2+1)(n+1)(n-1)\)
Dla parzystego n pierwszy czynnik jest podzielny przez 4, a dla nieparzystego n pozostałe trzy czynniki są parzyste.
b)
\(n=5k+1\)
\(n^8+3n^4-4=(n^4+4)(n^4-1)=(n^4+4)(n^2+1)(n+1)(n-1)=\\=((5k+1)^4+4)((5k+1)^2+1)((5k+1)+1)((5k+1)-1)=((5k+1)^4+4)((5k+1)^2+1)(5k+2)5k\)
Pierwszy i czwarty składnik jest podzielny przez 5

2)
Alternatywnie możesz podzielność przez 100 wykazać indukcyjnie dla wyrażenia
\((5k+1)^8+3(5k+1)^4-4\)
ODPOWIEDZ