Rozwiąż nierówność wymierną.

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
dytr
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 24
Rejestracja: 28 paź 2017, 20:02
Podziękowania: 18 razy
Płeć:

Rozwiąż nierówność wymierną.

Post autor: dytr »

Rozwiąż następującą nierówność.

\(\frac{ \sqrt{2x-1} }{x-2}<1\)

1) Dziedzina:

\(2x-1 \ge 0\)
\(x-2 \neq 0\)

Z powyższych warunków mam następującą dziedzinę: \(x \in [ \frac{1}{2},2) \cup (2,+ \infty )\)

Później biorę się za nierówność i docieram do następującego momentu:

\(\frac{ \sqrt{2x-1}-x+2 }{x-2}<0\)

Teraz rozpisuję to na następujące przypadki:
\(\sqrt{2x-1}-x+2>0 \wedge x-2<0\)
lub
\(\sqrt{2x-1}-x+2<0 \wedge x-2>0\)

Jak ruszyć dalej te wyrażenia z pierwiastkiem? Mogę przenieść x-2 na drugą stronę i podnieść całe wyrażenie do kwadratu? Czy do tego momentu moje obliczenia są prawidłowe?
Galen
Guru
Guru
Posty: 18457
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9161 razy

Post autor: Galen »

Pierwsza nierówność:
\(\sqrt{2x-1}>x-2\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;x-2<0\;\;\;czyli\;\;\;\;\;x<2\)
Pierwiastek jest większy lub równy zero,zatem jest większy od ujemnej wartości z prawej strony.
\(2x-1 \ge 0\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;x<2\\x\in < \frac{1}{2};2)\)
Druga nierówność.
Obie strony dodatnie,więc podnosisz je do kwadratu z zachowaniem znaku nierówności
\(\sqrt{2x-1}<x-2\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;x>2\\2x-1<(x-2)^2\\2x-1<x^2-4x+4\\x^2-6x+5>0\\x_1=1\\x_2=5\\x\in (5;+\infty)\)

Ostatecznie:
\(x\in < \frac{1}{2};2) \cup (5;+\infty)\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
ODPOWIEDZ