Równania i nierówności z pierwiastkiem

[Uczen6788]

Rozwiąż i podaj niezbędne założenia

a) \(\sqrt{4+2x-x^{2}}=x+2\)

b) \(\sqrt{2x-3}+\sqrt{4x+1}=4\)

c) \(\sqrt{x+7} \le -7\)

d) \(\sqrt{2x+3}>4\)

[eresh]

Rozwiąż i podaj niezbędne założenia

a) \(\sqrt{4+2x-x^{2}}=x+2\)

\(4+2x-x^2\geq 0\;\;x+2\geq 0\\
D=[-2,-1-\sqrt{5}]\cup [1+\sqrt{5},\infty)\)

\(4+2x-x^2=x^2+4x+4\\
-2x^2-2x=0\\
-2x(x+1)=0\\
x=0\notin D\\
x=-1\)

[eresh]

Rozwiąż i podaj niezbędne założenia

b) \(\sqrt{2x-3}+\sqrt{4x+1}=4\)

\(2x-3\geq 0\;\; \wedge \;\;4x+1\geq 0\\
x\geq \frac{3}{2}\;\;\wedge\;\;\;x\geq -\frac{1}{4}\\
D=[\frac{3}{2},\infty)\)

\(\sqrt{2x-3}+\sqrt{4x+1}=4\\
2x-3-2\sqrt{(2x-3)(4x+1)}+4x+1=16\\
6x-2-2\sqrt{8x^2-10x-3}=16\\
-2\sqrt{8x^2-10x-3}=18-6x\\
\sqrt{8x^2-10x-3}=3x-9\)

dla x<3 równanie jest sprzeczne

dla \(x\geq 3\)
\(8x^2-10x-3=9x^2-54x+81\\
-x^2+44x-84=0\\
x=42\\\)

[eresh]

Rozwiąż i podaj niezbędne założenia

c) \(\sqrt{x+7} \le -7\)

nierówność sprzeczna - lewa strona jest dodatnia, nie może być mniejsza od -7

[eresh]

Rozwiąż i podaj niezbędne założenia


d) \(\sqrt{2x+3}>4\)

\(2x+3\geq 0\\
D=[-\frac{3}{2},\infty)\)

\(2x+3>16\\
2x>13\\
x>\frac{13}{2}\)