geometria~pole i styczne (trójkąt)

[Karp_1_]

zad.1. Prosta o równaniu \(x-2y+6=0\)przecina parabolę \(y=x^2-4x+3\) w punktach A i B
a) wykaż, że trójkąt ABS (gdzie S to wierzchołek paraboli \(y=x^2-4x+3\)) jest prostokątny,
b)oblicz pole trójkąta ABS,
c)wyznacz równanie tej stycznej do parabli \(y=x^2-4x+3\), która jest równoległa do prostej \(x-2y+6=0\)
zad.2. dany jest okrąg o równaniu \(x^2+y^2-8x-4y+16=0\)
a)napisz równania stycznych do tego okręgu przechodzących przez początek układu współrzędnych,
b)oblicz pole trójkąta ograniczonego tymi stycznymi i prostą wyznaczoną przez punkty styczności

O co chodzi z tymi stycznymi? Proszę o wytłumaczenie !

[eresh]

zad.1. Prosta o równaniu x-2y+6=0 przecina parabolę y=x2-4x+3 w punktach A i B
a) wykaż, że trójkąt ABS (gdzie S to wierzchołek paraboli y=x2-4x+3) jest prostokątny,
b)oblicz pole trójkąta ABS,
c)wyznacz równanie tej stycznej do parabli y=x2-4x+3, która jest równoległa do prostej x-2y+6=0

\(x-2y+6=0\\
x=2y-6\)

\(y=x^2-4x+3\\
y=4y^2-24y+36-8y+24+3\\
4y^2-33y+63=0\\
y=3\;\;\vee\;\;y=\frac{21}{4}\\
A(0,3)\\
B(\frac{9}{2},\frac{21}{4})\\
S (2,-1)\)


a)
\(|AB|^2=\frac{81}{4}+\frac{81}{16}=\frac{405}{16}\\
|AS|^2=4+16=20\\
|BS|=\frac{25}{4}+\frac{625}{16}=\frac{725}{16}\\
|AB|^2+|AS|^2=\frac{405}{16}+20=\frac{725}{16}=||BS|^2\)
trójkąt jest prostokątny

b)
\(P=\frac{1}{2}|AB|\cdot |AS|\\
P=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{405}{16}\cdot 20}=\frac{45}{4}\)

c)
dana prosta:
\(x-2y+6=0\\
-2y=-x-6\\
y=\frac{1}{2}x+3
styczna:
y=\frac{1}{2}x+b\)
równanie \(\frac{1}{2}x+b=x^2-4x+3\) musi mieć jedno rozwiązanie
\(x^2-\frac{9}{2}x+3-b=0\\
\Delta =0\\
\frac{81}{4}-4(3-b)=0\\
4(3-b)=\frac{81}{4}\\
3-b=\frac{81}{16}\\
b=-\frac{33}{16}\\
y=\frac{1}{2}x-\frac{33}{16}\)

[Karp_1_]

skąd wiadomo, że S to (2,-1)?

[eresh]

skąd wiadomo, że S to (2,-1)?

\(y=x^2-4x+3\\
p=\frac{-b}{2a}\\
p=\frac{4}{2}\\
p=2\\
q=2^2-4\cdot 2+3=-1\)

[eresh]

zad.2. dany jest okrąg o równaniu \(x^2+y^2-8x-4y+16=0\)
a)napisz równania stycznych do tego okręgu przechodzących przez początek układu współrzędnych,
b)oblicz pole trójkąta ograniczonego tymi stycznymi i prostą wyznaczoną przez punkty styczności

\(y=ax\) - styczne

\(x^2+a^2x^2-8x-4ax+16=0\\
x^2(1+a^2)+x(-8-4a)+16=0\\
\Delta=0\\
64+64a+16a^2-64(1+a^2)=0\\
64+64a+16a^2-64-64a^2=0\\
-48a^2+64a=0\\
-a^2(48a-64)=0\\
a=0\;\;\vee\;\;a=\frac{4}{3}\)
styczne:
\(y=0\\
y=\frac{4}{3}x\)

punkty styczności:
dla \(y=0\;\;\;x^2-8x+16=0\;\;A(4,0)\)
dla \(y=\frac{4}{3}x:\;\;\;x^2+\frac{16}{9}x^2-8x-4\cdot\frac{4}{3}x+16=0\So \frac{25}{9}x^2-\frac{40}{3}x+16=0\;\So\;\;x=\frac{12}{5}\\
B(\frac{12}{5},\frac{16}{5})\)

\(P=\frac{1}{2}|(\frac{12}{5}-4)\cdot 0-\frac{16}{5}(0-4)|=\frac{32}{5}\)

[Karp_1_]

Dziękuję ! nigdy nie wpadłabym na pomysł z p i q