rownania i nierównosci

[mahidevran]

1. Udowodnij, że równanie nie ma rozwiązań.

cos^2 x sinx + √3sin^2 x + 2sinx = 3tg pi/3
2. Udowodnij ze dla dowolnej wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania 5x^2 + 12 m^2 x + 3x - 3m^2 -1=0 jest mniejsza od 4.

[eresh]

2. Udowodnij ze dla dowolnej wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania \(5x^2 + 12 m^2 x + 3x - 3m^2 -1=0\)jest mniejsza od 4.

dla każdego m \(\Delta >0\)

\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x^2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-12m^2-3}{-3m^2-1}=\frac{12m^2+3}{3m^2+1}=4-\frac{1}{3m^2+1}<4\)

[eresh]

1. Udowodnij, że równanie nie ma rozwiązań.

cos^2 x sinx + √3sin^2 x + 2sinx = 3tg pi/3

\(\cos ^2x\sin x+\sqrt{3}\sin^2x+2\sin x=3\sqrt{3}\\
(1-\sin^2x)\sin x+\sqrt{3}\sin^2x+2\sin x-3\sqrt{3}=0\\
\sin x-\sin^3x+\sqrt{3}\sin^2x+2\sin x-3\sqrt{3}=0\\
-\sin^3x+\sqrt{3}\sin^2x+3\sin x-3\sqrt{3}=0\\
-\sin^2x(\sin x-\sqrt{3})+3(\sin x-\sqrt{3})=0\\
(\sin x-\sqrt{3})(3-\sin^2x)=0\\
(\sin x-\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sin x)(\sqrt{3}+\sin x)=0\\
\sin x=\sqrt{3} -\text{ sprzecznosc}\\
\sin x=-\sqrt{3}-\text{ sprzecznosc}\)