Korzystając z metody nieskończonego schodzenia Fermata znaleźć wszystkie rozwiązanie równania:
\(x^3+2y^3=4z^3\)
w liczbach całkowitych nieujemnych.
Z góry dzięki
metoda nieskończonego schodzenia
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
takamatematyka
- Rozkręcam się
- Posty: 47
- Rejestracja: 23 maja 2016, 10:47
- Podziękowania: 22 razy
- Płeć:
-
kerajs
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Nigdy nie słyszałem o metodzie nieskończonego schodzenia Fermata, a zadanko rozwiązywałbym tak.
Ponieważ suma i drugi jej składnik są parzyste to x musi być także parzyste:
\((2x')^3+2y^3=4z^3\\
8(x')^3+2y^3=4z^3\\
4(x')^3+y^3=2z^3\)
Ponieważ suma i pierwszy jej składnik są parzyste to y musi być także parzyste:
\(4(x')^3+(2y')^3=2z^3\\
2(x')^3+4(y')^3=z^3\)
Ponieważ oba składniki sumy są parzyste to z musi być także parzyste:
\(2(x')^3+4(y')^3=(2z')^3\\
(x')^3+2(y')^3=4(z')^3\)
Otrzymane równanie jest identyczne z wyjściowym. Ponieważ powyższą procedurę można przeprowadzać nieskończoną ilość razy, to równanie nie ma rozwiązania w liczbach naturalnych dodatnich. Pewnie to o to chodzi.
Ponieważ suma i drugi jej składnik są parzyste to x musi być także parzyste:
\((2x')^3+2y^3=4z^3\\
8(x')^3+2y^3=4z^3\\
4(x')^3+y^3=2z^3\)
Ponieważ suma i pierwszy jej składnik są parzyste to y musi być także parzyste:
\(4(x')^3+(2y')^3=2z^3\\
2(x')^3+4(y')^3=z^3\)
Ponieważ oba składniki sumy są parzyste to z musi być także parzyste:
\(2(x')^3+4(y')^3=(2z')^3\\
(x')^3+2(y')^3=4(z')^3\)
Otrzymane równanie jest identyczne z wyjściowym. Ponieważ powyższą procedurę można przeprowadzać nieskończoną ilość razy, to równanie nie ma rozwiązania w liczbach naturalnych dodatnich. Pewnie to o to chodzi.
-
takamatematyka
- Rozkręcam się
- Posty: 47
- Rejestracja: 23 maja 2016, 10:47
- Podziękowania: 22 razy
- Płeć:
-
kerajs
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Uzasadnienie 1.
W wyniku podstawiania otrzymywałem trzy równania różniące się tylko nazwą niewiadomych. Każde z nich bezpośrednio nie daje rozwiązania, a wymaga podstawienia. Podstawienia które przekształca je w kolejne z trzech równań które także bezpośrednio nie daje rozwiązania, a wymaga podstawienia. Podstawienia które przekształca je w kolejne z trzech równań które także bezpośrednio nie daje rozwiązania, ... , etc. Wykonanie procedury naprawdę dużo razy nie daje rozwiązania, a tylko jedno z trzech powyższych równań i wymaga dalszego podstawiania.
Skoro musimy podstawiać nieskończenie wiele razy i nigdy nie uzyskujemy równania z którego można wyznaczyć dodatnie, naturalne pierwiastki to pierwotne równanie, ani żadne z równań wtórnych nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych dodatnich.
Uzasadnienie 2.
Jeżeli równanie \(x^3+2y^3=4z^3\) ma rozwiązanie to jest ono identyczne z rozwiązaniem równania \((x')^3+2(y')^3=4(z')^3\). Stąd:
\(\begin{cases} a=x=x' \\ b=y=y' \\ c=z=z'\end{cases} \So \begin{cases} x= \frac{1}{2} x \\ y= \frac{1}{2} y \\ z= \frac{1}{2} z \end{cases} \So \begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=0\end{cases}\)
co nie jest zgodne z założeniami zadania.
W wyniku podstawiania otrzymywałem trzy równania różniące się tylko nazwą niewiadomych. Każde z nich bezpośrednio nie daje rozwiązania, a wymaga podstawienia. Podstawienia które przekształca je w kolejne z trzech równań które także bezpośrednio nie daje rozwiązania, a wymaga podstawienia. Podstawienia które przekształca je w kolejne z trzech równań które także bezpośrednio nie daje rozwiązania, ... , etc. Wykonanie procedury naprawdę dużo razy nie daje rozwiązania, a tylko jedno z trzech powyższych równań i wymaga dalszego podstawiania.
Skoro musimy podstawiać nieskończenie wiele razy i nigdy nie uzyskujemy równania z którego można wyznaczyć dodatnie, naturalne pierwiastki to pierwotne równanie, ani żadne z równań wtórnych nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych dodatnich.
Uzasadnienie 2.
Jeżeli równanie \(x^3+2y^3=4z^3\) ma rozwiązanie to jest ono identyczne z rozwiązaniem równania \((x')^3+2(y')^3=4(z')^3\). Stąd:
\(\begin{cases} a=x=x' \\ b=y=y' \\ c=z=z'\end{cases} \So \begin{cases} x= \frac{1}{2} x \\ y= \frac{1}{2} y \\ z= \frac{1}{2} z \end{cases} \So \begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=0\end{cases}\)
co nie jest zgodne z założeniami zadania.