nierówność z minimum

[ms7]

Witam!

Mógłby ktoś poratować dowodem, że dla \(a,b,c \ge 0\):
\(\min\{a+b,c\} \le \min\{a,c\}+\min\{b,c\}\)
?

[Panko]

Można tak tyle że to klepana algebra.
Korzystamy z \(\\) \(min \left\{x,y \right\}= \frac{x+y}{2} - \frac{| x-y|}{2}\) , oczywiste bo pierwsze to wsp środka odcinka o zadanych końcach w \(x,y\) i cofamy się o połowę długości odcinka o zadanych końcach w \(x,y\).
Wtedy Twoja nierówność ma postać :
\(\frac{a+b+c}{2} - \frac{| a+b-c|}{2} \le \frac{a+c}{2} - \frac{| a-c|}{2} +\frac{b+c}{2} - \frac{| b-c|}{2}\)
\(|a+b-c| +c \ge |a-c|+|b-c|\)
......................................................................
wystarczy : wziąć trzy porządki ze względu tylko na \(\\)\(c\)
1) \(0 \le c \le a \le b\)
2) \(0 \le a \le c \le b\)
3)\(0 \le a \le b \le c\)
.....................................................................
To sprawdza się po opuszczeniu abs w kilka chwil ,że jest ok
np 1) \(|a-c|+|b-c| =a-c+b-c =a+b-2c\) , \(|a+b-c|+c=a+b-c +c=a+b\) czyli nierówność jest \(a+b \ge a+b-2c\) \(\\) czyli ok .