forum.zadania.info

Rozwiąż równanie

\(\sin x+ \sin \frac{\pi }{6}= \sin (x+\frac{\pi }{6})\)

Zapisz \(sin(x+ \pi/6)\) jako \(sin2( \frac{x+ \pi /6}{2} )\). Dziwny sposób, ale działa.

Proponuję dwa wykresy w jednym układzie współrzędnych:
\(y=sinx+sin{\frac{\pi}{6}}=sinx+\frac{1}{2}\)
Tu jest sinusoida przesunięta o 0,5 do góry.
\(y=sin(x+\frac{\pi}{6})\)
Tu jest sinusoida przesunięta o \(\frac{\pi}{6}\) w lewo.

Punkty wspólne obu krzywych mają iksowe współrzędne:\(x=0\\x=2\pi\\x=-2\pi\\ogólnie\;\\x=2k\pi\;\;i\;\;\;k\in C\)

Ze wzoru na sumę sinusów:
\(sinx + sin{\frac{ \pi }{6}} = 2sin{\frac{x+ \pi /6}{2}}cos{\frac{x- \pi/6}{2}}\)

Teraz korzystając ze wzoru na sinus podwojonego kąta:

\(sin{x + \frac{ \pi }{6}} = 2sin{ \frac{x+ \pi/6}{2}}cos{ \frac{x+ \pi /6}{2}}\)

Porównujemy:

\(2sin{\frac{x+ \pi /6}{2}}cos{\frac{x- \pi/6}{2}} =2sin{ \frac{x+ \pi/6}{2}}cos{ \frac{x+ \pi /6}{2}}\)

Po skróceniu:

\(cos{\frac{x- \pi/6}{2}}=cos{ \frac{x+ \pi /6}{2}}\)

Przenosimy na jedną stronę i korzystamy ze wzoru na różnicę cosinusów:

\(cos{\frac{x- \pi/6}{2}}-cos{ \frac{x+ \pi /6}{2}} = 0\)

\(-2sin{ \frac{2x}{4}}sin{ \frac{- \pi }{6}}=0\)

Czyli:

\(sin{ \frac{x}{2} } = 0\)
\({\frac{x}{2}} = k \pi\)
\(x = 2k \pi\)

To równanie nie zostało jeszcze poprawnie rozwiązane
właściwa odpowiedź to: \(x= \frac{11}{6}\pi+2k\pi\ \vee \ x=2k\pi, \ k \in C\)

@Galen,
obrazek wygląda tak: a po przybliżeniu:

@Shade,
równanie można obustronnie dzielić wyłącznie przez wyrażenia , które nie mają miejsc zerowych.