Rozwiąż równanie
\(\sin x+ \sin \frac{\pi }{6}= \sin (x+\frac{\pi }{6})\)
Równanie trygonometryczne
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
jakubowiczish
- Rozkręcam się
- Posty: 30
- Rejestracja: 02 lut 2017, 12:37
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 5 razy
- Płeć:
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
Proponuję dwa wykresy w jednym układzie współrzędnych:
\(y=sinx+sin{\frac{\pi}{6}}=sinx+\frac{1}{2}\)
Tu jest sinusoida przesunięta o 0,5 do góry.
\(y=sin(x+\frac{\pi}{6})\)
Tu jest sinusoida przesunięta o \(\frac{\pi}{6}\) w lewo.
Punkty wspólne obu krzywych mają iksowe współrzędne:\(x=0\\x=2\pi\\x=-2\pi\\ogólnie\;\\x=2k\pi\;\;i\;\;\;k\in C\)
\(y=sinx+sin{\frac{\pi}{6}}=sinx+\frac{1}{2}\)
Tu jest sinusoida przesunięta o 0,5 do góry.
\(y=sin(x+\frac{\pi}{6})\)
Tu jest sinusoida przesunięta o \(\frac{\pi}{6}\) w lewo.
Punkty wspólne obu krzywych mają iksowe współrzędne:\(x=0\\x=2\pi\\x=-2\pi\\ogólnie\;\\x=2k\pi\;\;i\;\;\;k\in C\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
Ze wzoru na sumę sinusów:
\(sinx + sin{\frac{ \pi }{6}} = 2sin{\frac{x+ \pi /6}{2}}cos{\frac{x- \pi/6}{2}}\)
Teraz korzystając ze wzoru na sinus podwojonego kąta:
\(sin{x + \frac{ \pi }{6}} = 2sin{ \frac{x+ \pi/6}{2}}cos{ \frac{x+ \pi /6}{2}}\)
Porównujemy:
\(2sin{\frac{x+ \pi /6}{2}}cos{\frac{x- \pi/6}{2}} =2sin{ \frac{x+ \pi/6}{2}}cos{ \frac{x+ \pi /6}{2}}\)
Po skróceniu:
\(cos{\frac{x- \pi/6}{2}}=cos{ \frac{x+ \pi /6}{2}}\)
Przenosimy na jedną stronę i korzystamy ze wzoru na różnicę cosinusów:
\(cos{\frac{x- \pi/6}{2}}-cos{ \frac{x+ \pi /6}{2}} = 0\)
\(-2sin{ \frac{2x}{4}}sin{ \frac{- \pi }{6}}=0\)
Czyli:
\(sin{ \frac{x}{2} } = 0\)
\({\frac{x}{2}} = k \pi\)
\(x = 2k \pi\)
\(sinx + sin{\frac{ \pi }{6}} = 2sin{\frac{x+ \pi /6}{2}}cos{\frac{x- \pi/6}{2}}\)
Teraz korzystając ze wzoru na sinus podwojonego kąta:
\(sin{x + \frac{ \pi }{6}} = 2sin{ \frac{x+ \pi/6}{2}}cos{ \frac{x+ \pi /6}{2}}\)
Porównujemy:
\(2sin{\frac{x+ \pi /6}{2}}cos{\frac{x- \pi/6}{2}} =2sin{ \frac{x+ \pi/6}{2}}cos{ \frac{x+ \pi /6}{2}}\)
Po skróceniu:
\(cos{\frac{x- \pi/6}{2}}=cos{ \frac{x+ \pi /6}{2}}\)
Przenosimy na jedną stronę i korzystamy ze wzoru na różnicę cosinusów:
\(cos{\frac{x- \pi/6}{2}}-cos{ \frac{x+ \pi /6}{2}} = 0\)
\(-2sin{ \frac{2x}{4}}sin{ \frac{- \pi }{6}}=0\)
Czyli:
\(sin{ \frac{x}{2} } = 0\)
\({\frac{x}{2}} = k \pi\)
\(x = 2k \pi\)
