poprawienie błędu

[FikiMiki94]

Jak poprawić poniższe rozumowanie?
\((\frac{a+b}{b})^{m+1}+ (\frac{a+b}{a} )^{m+1}-2 (\frac{a+b}{b})^{m}-2 (\frac{a+b}{a})^{m}=(\frac{a+b}{b})^{m} \cdot ( \frac{a+b}{b}-2)+(\frac{a+b}{b})^{m} \cdot (\frac{a+b}{a}-2)= \\ =
(\frac{a+b}{b})^{m} \cdot (\frac{a+b}{b}-2+\frac{a+b}{a}-2)=(\frac{a+b}{b})^{m} \cdot ( \frac{a}{b}+1-2+1+ \frac{b}{a}-2)=
(\frac{a+b}{b})^{m} \cdot(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2) \ge 0\)

[kerajs]

Jak poprawić poniższe rozumowanie?
\((\frac{a+b}{b})^{m+1}+ (\frac{a+b}{a} )^{m+1}-2 (\frac{a+b}{b})^{m}-2 (\frac{a+b}{a})^{m}=(\frac{a+b}{b})^{m} \cdot ( \frac{a+b}{b}-2)+(\frac{a+b}{b})^{m} \cdot (\frac{a+b}{a}-2)=\)

Raczej
\((\frac{a+b}{b})^{m+1}+ (\frac{a+b}{a} )^{m+1}-2 (\frac{a+b}{b})^{m}-2 (\frac{a+b}{a})^{m}=(\frac{a+b}{b})^{m} \cdot ( \frac{a+b}{b}-2)+(\frac{a+b}{a})^{m} \cdot (\frac{a+b}{a}-2)=\)

Potem:
\(=(\frac{a+b}{b})^{m} \cdot \frac{a-b}{b}+(\frac{a+b}{a})^{m} \cdot \frac{-a+b}{a}=
(a+b)^m(a-b) \left[ \frac{1}{b^{m+1}} - \frac{1}{a^{m+1}} \right]=\\= \frac{1}{ab}( \frac{a+b}{ab})^m(a-b)(a^{m+1}-b^{m+1}) =\frac{1}{ab}( \frac{a+b}{ab})^m(a-b)^2( \sum_{i=0}^{m}a^{m-i}b^i) \ge 0\)

[Galen]

Wyłączasz \((\frac{a+b}{b})^n\;\;\;\;oraz\;\;\;\;(\frac{a+b}{a})^n\)
Po znaku + powinno być \((\frac{a+b}{a})^n\cdot (\frac{a+b}{a}-2)\),Ty masz tam w mianowniku b
zamiast a.

[FikiMiki94]

można prosić o wytłumaczenie tego ? :\(\frac{1}{ab}( \frac{a+b}{ab})^m(a-b)(a^{m+1}-b^{m+1}) =\frac{1}{ab}( \frac{a+b}{ab})^m(a-b)^2( \sum_{i=0}^{m}a^{m-i}b^i) \ge 0\)

[kerajs]

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\\
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\\
a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)\\
...\\
a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+ab^{n-2}+b^{n-1})=(a-b)( \sum_{i=0}^{n-1}a^{n-1}b^i)\)

To jak rozpiszesz Twoje
\(a^{m+1}-b^{m+1}=...\)

[FikiMiki94]

rozumiem rozpisywanie sumy . a dlaczego tam mnożymy *\(\frac{1}{ab} ?\)

[kerajs]

Zamiast zadawać tak elementarne pytanie, wystarczy abyś samodzielnie przekształcił to wyrażenie (tym bardziej że jedyne odrobinę mniej łatwe przekształcenie jest dla Ciebie zrozumiałe). Wtedy wszystko będzie aż nazbyt oczywiste.