równanie z parametrem i wart. bezwzględną

[Mi82]

Mam zadanie maturalne (matura rozszerzona) z którym nie mogę sobie poradzić. Proszę pomóżcie:

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\) dla których równanie \(|x-a^3|+|x-4|=4-a^3\) ma co najmniej 13 rozwiązań całkowitych.

[sebnorth]

Rozważmy sytuację: trzy liczby: \(c \le x \le d\), wówczas: suma odległości x od c i d jest równa odległości c i d, czyli:

\(|x-c| + |x-d| = |c-d| = d-c\)

Dla innych \(x\) ta nierówność nie jest prawdziwa, bo \(|x-c| + |x-d| > |c-d|\)

1) \(4 - a^3 < 0\) nie ma sensu bo lewa strona jest nieujemna

2) \(4 - a^3 \ge 0\):

Rozwiązaniem danego równania są wszystkie liczby z przedziału \(<a^3 ; 4>\). Przedział ten zawiera \(12\) liczb całkowitych jeśli \(a^3=-8\).

Czyli rozwiązaniem zadania jest zbiór liczb \(a\) spełniających warunek: \(a^3 \le -8\).

[Mi82]

Dziękuję za rozwiązanie. Niestety nie za bardzo rozumiem wszystko, co z czego wynika .
W moim rozwiązaniu z przedziałami doszłam do tego, że równanie będzie tożsamościowe w przedziale \(x \in <a^3,4)\).
Nie wiem skąd się bierze niespodziewanie \(a^3=-8\).

[sebnorth]

odsuwam \(a^3\) w lewo od \(-4\) na odległość 12 jednostek, żeby pomieścić 13 liczb całkowitych

[Mi82]

Proszę, może ktoś sprawdzi, gdzie mam błąd ?

Rozpisałam wartości bezwzględne na trzy przedziały i przeanalizowałam w każdym z nich równanie:
1\(x \in (- \infty ,a^3)\)
\(-x+a^3-x+4-4+a^3=0 \So -2x+2a^3=0\)
2\(x \in <a^3,4)\)
\(x-a^3-x+4-4+a^3=0 \So 0=0\) równanie tożsamościowe (nieskończenie wiele rozwiązań)
3\(x \in <4, \infty )\)
\(x-a^3+x-4+4+a^3=0 \So 2x=0\) równanie sprzeczne

Czy to jest dobrze ?

[Mi82]

odsuwam \(a^3\) w lewo od \(-4\) na odległość 12 jednostek, żeby pomieścić 13 liczb całkowitych

Wiem już dlaczego w lewo ale dlaczego w lewo od liczby -4 a nie od liczby 4 ?
Dlaczego przesuwam o 12 jednostek a nie o 13 jednostek ?

[sebnorth]

przejęzyczyłem się, od 4

w przedziale <x;y> x,y całkowite jest y-x+1 liczb całkowitych

[sebnorth]

w trzecim przypadku masz błąd ze znakiem

[Mi82]

Czyli mam źle rozpisane przedziały ? Jaki jest powód aby drugi przedział domykać w punkcie x=4 ?

[Mi82]

w trzecim przypadku masz błąd ze znakiem

Czyli powinno być:
3\(x \in <4, \infty )\)
\(x-a^3+x-4-4+a^3=0 \So 2x=8\) równanie nie zależy od parametru a

Dobrze ?

[sebnorth]

\(2x = 8\)

\(x=4\) i 4 pasuje

[Mi82]

Tylko cały czas mi nie pasują krańce przedziałów. W moim drugim wariancie przedział był prawostronnie otwarty więc 4 nie należało do tego przedziału jednak przy rozwiązywaniu i przesuwaniu wykresu o 12 jednostek w lewo okazuje się, że 4 należy do przedziału, ale nie wiem dlaczego... .

[sebnorth]

w drugim przypadku 4 się nie łapała, ale w trzecim tak

[Mi82]

W takim razie jak zapisać prawidłową odpowiedź do tego zadania ? Jak zapiszę, że \(a^3 \le -8\) to moje liczby całkowite będą: -8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3 i będzie ich 12 a nie 13 chyba że coś pokręciłam znowu.

[sebnorth]

dla \(a=-2\) jest \(a^3=-8\) i w przedziale \(<-8;4>\) tych liczb jest \(13\)