Kiedy równania są równoważne?

[kulski-12]

Jak zatem wytłumaczyć:

\((x=1 \vee x=7) \iff \left(\frac{x-1}{x-7}=0 \vee \frac{x-7}{x-1}=0 \right) \iff x\in \emptyset\)
?
Pierwsza równoważność zastosowałem w myśl tego, że \(\frac{x-1}{x-7}=0 \iff x=1\), gdyż mają te same zbiory rozwiązań, oraz na tej samej zasadzie \(\frac{x-7}{x-1}=0 \iff x=7\).

[radagast]

A Ty jesteś pewien tej ostatniej równoważności ?
Przecież to jest fałsz !
Pierwsza jest prawdziwa

[kulski-12]

Pierwsza równoważność nie jest prawdziwa.
To:
\((x=1 \vee x=7) \iff \left(\frac{x-1}{x-7}=0 \vee \frac{x-7}{x-1}=0 \right)\)
nie jest prawda.
Lewa strona równoważności jest prawdziwa dla x=1 oraz dla x=7, przy czym prawa strona równoważności nie jest prawdziwa dla żadnego z tych iksów, bo podstawiając po prawej stronie któryś z tych argumentów, jedna część alternatywy jest prawdziwa a druga nie określona. Z tego co mi wiadomo nie da się określić wartości logicznej takiego zdania.

[radagast]

Z tego co mi wiadomo nie da się określić wartości logicznej takiego zdania.

źle Ci wiadomo

[kelly128]

Równania są równoważne wtedy i tylko wtedy gdy mają takie same zbiory rozwiązań i dziedzina nie ma tu nic do rzeczy.

Skoro dziedzina nie ma znaczenia, to jakim cudem dwa identyczne równania mogą mieć inne rozwiązania?

[kulski-12]

Z tego co mi wiadomo nie da się określić wartości logicznej takiego zdania.

źle Ci wiadomo

W takim razie proszę o podanie wartości logicznych dla spójników w momencie gdy któraś część koniunkcji, alternatywy, implikacji lub równoważności nie istnieje. Jestem bardzo ciekaw.

Poza tym, sugeruje Pani, że równanie:
\(\frac{x-1} {x-7}\cdot \frac{x-7}{x-1}=0\)
posiada dwa rozwiązania, bo według tego co Pani pisze:
\(\frac{x-1} {x-7}\cdot \frac{x-7}{x-1}=0 \iff \left( \frac{x-1} {x-7}=0 \vee \frac{x-7}{x-1}=0\right) \iff x\in\{1,7\}\)
?

[radagast]

bo według tego co Pani pisze:
\(\frac{x-1} {x-7}\cdot \frac{x-7}{x-1}=0 \iff \left( \frac{x-1} {x-7}=0 \vee \frac{x-7}{x-1}=0\right)\)
?

Ja tak nie napisałam ! To nie jest prawda !

[kulski-12]

Zatem dlaczego to:
\((x=1 \vee x=7) \iff \left(\frac{x-1}{x-7}=0 \vee \frac{x-7}{x-1}=0 \right)\)
uważa pani za prawdziwą równoważność, a to:
\(\frac{x-1} {x-7}\cdot \frac{x-7}{x-1}=0 \iff \left( \frac{x-1} {x-7}=0 \vee \frac{x-7}{x-1}=0\right)\)
nie?

[radagast]

głównie dlatego, że nie jest prawdą , że
\((x=1 \vee x=7) \iff \frac{x-1} {x-7}\cdot \frac{x-7}{x-1}=0\)
P.S.
jakbym bym była złośliwa to napisałabym że
nie jest prawdą , że
\((x=1 \vee x=7) \iff 1=0\)
ale mam nadzieję, że nie jestem

[Matematyk_64]

Proponuję przeczytać jeszcze raz ten fragment książki ze zrozumieniem.
Tam jest mowa o równoważnych formach zdaniowych dla których dodatkowo zakłada się wspólną dziedzinę.

Gdyby zdanie brzmiałoby:
"Dwie formy nazywamy równoważnymi gdy mają wspólną dziedzinę i..." cała reszta, to potulnie skuliłbym ogonek pod siebie i przyznałbym rację

Chyba mam tą książkę w biurze. To nie Grzegorczyk?

Przepraszam za post pod postem, ale czas na edycję minął, a ja znalazłem coś odnośnie:

Równania równoważne muszą mieć taką samą dziedzinę i taki sam zbiór rozwiązań.

Podaj źródło tej "wiedzy"

Otóż proszę bardzo: http://www.math.us.edu.pl/pgladki/teach ... estaw2.pdf
Rozdział 8, zwłaszcza prawa strona u góry. Niestety nie jestem w stanie podać autora tej książki, gdyż jest to znaleziony w internecie skan jej fragmentu(może ktoś kojarzy tytuł lub autora?).

[Matematyk_64]

Może podam przykład pokazujący, że równania równoważne muszą mieć takie same dziedziny.
Rozwiążę równanie:
x+4=2
najpierw w zbiorze liczb naturalnych, a później w zbiorze liczb rzeczywistych.
1. \(\ x+4=2 \ \quad \quad D= \nn \\ x=-2 \notin D\)
2. \(\ x+4=2 \ \quad \quad D= \rr \\ x=-2 \in D\)

Pierwsze równanie nie ma rozwiązania, a drugie ma - więc nie mogą być równoważne.

Odwracasz problem
Oczywiście, że w Twoim przykładzie nie są równoważne, bo to wbrew temu co odpisałeś następnie radagast nie są to równania identyczne - różnią się jedną literką. Oczywiście, że dziedzina ma bezwzględne znaczenie. Ale o czym innym jest tu mowa.

Wskazujemy, że równania \(\frac{x-1}{x}=0\) i \(x-1=0\) są równoważne. Mimo, że dziedzina - taka wynikająca z zasad algebry - obu równań jest inna.
Inaczej jaką wartość logiczną ma pierwsza formuła zdaniowa dla \(x=0\)? Prawda? Fałsz? Nie ma decyzji? Dziedzina określa nam tylko zbiór, dla których możemy tu dokonać obliczeń arytmetycznych wyrażenia algebraicznego (albo została dodatkowo dookreślona, by obliczać tylko dla np. liczb naturalnych). Brak możliwości wykonania obliczenia oznacza, że nie otrzymamy w wyniku zera i zero nie jest rozwiązaniem tego równania. Bo przecież w równoważności równań chodzi o to co jest rozwiązaniem, a nie to co nie jest

Natomiast nie są równoważne równania \(\frac{x-1}{x}=0\) i \(x(x-1)=0\) o ile nie ograniczymy dziedziny do tej wynikającej z pierwszego równania, bo dla \(x \in R \bez \left\{0 \right\}\) jest już wszystko OK

[Matematyk_64]

Równania są równoważne wtedy i tylko wtedy gdy mają takie same zbiory rozwiązań i dziedzina nie ma tu nic do rzeczy.
np. Równania \(\sqrt{x}=-1\)oraz \(x+1=x+2\) są równoważne (mimo że mają różne dziedziny).

Ale w zbiorze liczb zespolonych już nie są równoważne Jednym słowem są równoważne do matury. Potem zależy już od kierunku studiów

Co oczywiście nie zmienia faktu, że masz rację.

[kulski-12]

Wskazujemy, że równania \(\frac{x-1}{x}=0\) i \(x-1=0\) są równoważne. Mimo, że dziedzina - taka wynikająca z zasad algebry - obu równań jest inna.
Inaczej jaką wartość logiczną ma pierwsza formuła zdaniowa dla \(x=0\)? Prawda? Fałsz? Nie ma decyzji? Dziedzina określa nam tylko zbiór, dla których możemy tu dokonać obliczeń arytmetycznych wyrażenia algebraicznego (albo została dodatkowo dookreślona, by obliczać tylko dla np. liczb naturalnych). Brak możliwości wykonania obliczenia oznacza, że nie otrzymamy w wyniku zera i zero nie jest rozwiązaniem tego równania. Bo przecież w równoważności równań chodzi o to co jest rozwiązaniem, a nie to co nie jest

Tu mnie Pan prawie przekonał, jestem wdzięczny za ten post, bo wniósł z mojej perspektywy najwięcej do całej dyskusji i jasno pokazał ideę stojącą za takim traktowaniem równoważności równań, o to mi właśnie chodziło i na to liczyłem zakładając ten temat, że ktoś wytłumaczy mi to jasno i klarownie tak jak Pan w tym poście

Natomiast mimo, że już rozumiem o co chodzi z równoważnością równań, to trapi mnie jeszcze jedna kwestia, która kłóci mi się z tym podejściem, a mianowicie:

\(\sqrt{x} \ge 0 \iff x \ge 0\)

stosując najprostszą tautologię dostajemy:

\(\sqrt{x} <0 \iff x < 0\)
co nie jest prawda. Jak należy więc do tego podejść w tym przypadku?