Kiedy równania są równoważne?

[kulski-12]

Kiedy równania są równoważne?
Na wikipedii jest napisane: "Równania równoważne - równania, które mają ten sam zbiór rozwiązań.". Czy rzeczywiście wystarczy aby miały ten sam zbiór rozwiązań, czy muszą być jeszcze założenia na dziedzinę?

Weźmy równanie:
\(\sqrt{x-2}=0\)
\(D: ~x \ge 2\)
\(x_0=2\)

oraz takie równanie:
\((x-2)(x^2+1)=0\)
\(D:~x\in R\)
\(x_0=2\)

Obydwa równania mają ten sam zbiór rozwiązań, ale inne dziedziny, czy w takim razie można powiedzieć, że:
\((x-2)(x^2+1)=0 \Leftrightarrow \sqrt{x-2}=0\)
?

Czy rozwiązując równania metodą równań równoważnych musimy się martwić o to, czy przy przekształceniach nie dojdzie do sytuacji, że jedna część równoważności nie istnieje a druga ma wartość logiczną zero, czy wystarczy aby w kolejnych krokach zachowywać tylko te same zbiory rozwiązań(wartości logiczne równe jeden po każdej stronie równoważności dokładnie dla tych samych argumentów i reszta nas nie obchodzi)?

Proszę o przystępne wytłumaczenie.

[kelly128]

Równania równoważne muszą mieć taką samą dziedzinę i taki sam zbiór rozwiązań.

[radagast]

A po co im taka sama dziedzina ?
Czy równania \(\frac{x-1}{x}=0\) oraz \(x=1\) nie są równoważne ?
Do dziś myślałam , że są.
Innymi słowy:
czy zdanie : \(\frac{x-1}{x}=0 \iff x=1\) jest prawdziwe , czy nie

[kelly128]

czy zdanie : \(\frac{x-1}{x}=0 \iff x=1\) jest prawdziwe , czy nie

To nie jest zdanie, tylko forma zdaniowa ze zmienną x.
Prawda czy fałsz oceniamy po podstawieniu za zmienną.
Nie tak przypadkiem?

[Matematyk_64]

Równania równoważne muszą mieć taką samą dziedzinę i taki sam zbiór rozwiązań.

Podaj źródło tej "wiedzy"

[radagast]

czy zdanie : \(\frac{x-1}{x}=0 \iff x=1\) jest prawdziwe , czy nie

To nie jest zdanie, tylko forma zdaniowa ze zmienną x.
Prawda czy fałsz oceniamy po podstawieniu za zmienną.
Nie tak przypadkiem?

ale to :\(\ \ \forall x \in \rr ,\ \ \ \frac{x-1}{x}=0 \iff x=1\) już jest zdanie. To prawdziwe, czy nie ?

[Panko]

Jak chcesz kwantyfikować formę zdaniową skoro \(x=0\) nie należy do jej dziedziny ?

[kelly128]

ale to :\(\ \ \forall x \in \rr ,\ \ \ \frac{x-1}{x}=0 \iff x=1\) już jest zdanie. To prawdziwe, czy nie ?

Nie.
Za to zdaniem prawdziwym jest:
\(\ \ \forall x \in \rr \bez \left\{ 0 \right\} ,\ \ \ \frac{x-1}{x}=0 \iff x=1\)

[radagast]

ale to :\(\ \ \forall x \in \rr ,\ \ \ \frac{x-1}{x}=0 \iff x=1\) już jest zdanie. To prawdziwe, czy nie ?

Nie.
Za to zdaniem prawdziwym jest:
\(\ \ \forall x \in \rr \bez \left\{ 0 \right\} ,\ \ \ \frac{x-1}{x}=0 \iff x=1\)

No to równania \(\ \frac{x-1}{x}=0,\ \ x=1\) są równoważne , czy nie ?

[kelly128]

1. Te równania nie są równoważne, bo maja różne dziedziny.
2. W przypadku założenia, że dziedziną obu jest \(\ \rr \bez \left\{ 0 \right\}\), wtedy te równania będą równoważne w tej dziedzinie.

Zgadzasz się z tym?

[radagast]

Nie.
Generalnie , to jest tak, że zanim się zacznie rozważać jakiś problem, to trzeba ustalić język.
Dopóki nie odpowiesz na pytanie Matematyka_64, nie bardzo wiemy o czym mówimy.

[kulski-12]

Dziękuję za zainteresowanie problemem.

Co do równoważności równań tylko na podstawie zbiorów ich rozwiązań, to spójrzcie na to:

Załóżmy, że równania są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same zbiory rozwiązań
Mamy więc ciąg równoważności(oznaczmy go jako \(\Delta\)):

\((x-1)(x-5)=0 \Leftrightarrow \left( x-1=0 \vee x-5=0 \right) \Leftrightarrow(*)\)

\(\Leftrightarrow \left[ \left( \frac{x-1}{x-5}=0 \wedge x \le 2\right) \vee \left( \frac{x-5}{x-1}=0 \wedge x>2 \right) \right]\)

W miejscu (*) korzystamy z tego, że(w myśl równoważności na postawie tego samego zbioru rozwiązań):
\(\left( \frac{x-1}{x-5}=0 \wedge x \le 2\right) \Leftrightarrow x-1=0\)
oraz
\(\left( \frac{x-5}{x-1}=0 \wedge x>2\right) \Leftrightarrow x-5=0\)

Niby wszystko pięknie ale ostatecznie w ostatnim kroku \(\Delta\) dostaliśmy wyrażenie które nie ma rozwiązań, bo nigdy nie będzie miało wartości logicznej równej jeden.
Jeśli wstawimy \(x=1\) lub \(x=5\) do:

\(\left[ \left( \frac{x-1}{x-5}=0 \wedge x \le 2\right) \vee \left( \frac{x-5}{x-1}=0 \wedge x>2 \right) \right]\),

wówczas wyrażenie to nie istnieje(za każdym razem wyzerujemy któryś mianownik), zatem mamy sprzeczność.

Jaki jest więc sens traktowania równań za równoważne tylko na podstawie posiadania tego samego zbioru rozwiązań, skoro kłóci to się z podstawowymi prawami logiki i prowadzi do takich absurdów? Chyba, że to ja czegoś nie dostrzegam, albo sytuacje w której alternatywa \(p(x) \vee q(x)\), przyjmuje dla \(p(x_0)\) wartość logiczną \(1\) a dla \(q(x_0)\) nie istnieje, traktujemy analogicznie jak gdyby dla \(q(x_0)\) przyjmowała wartość logiczną \(0\) i tym samym cała alternatywa przyjmuje wartość logiczną jeden i wtedy zarówno \(5\) jak i \(1\) są rozwiązaniami problemu w \(\Delta\)?
Więc jak to właściwie jest? Jak to wszytko zebrać w całość, żeby trzymało się kupy?

[kulski-12]

Przepraszam za post pod postem, ale czas na edycję minął, a ja znalazłem coś odnośnie:

Równania równoważne muszą mieć taką samą dziedzinę i taki sam zbiór rozwiązań.

Podaj źródło tej "wiedzy"

Otóż proszę bardzo: http://www.math.us.edu.pl/pgladki/teach ... estaw2.pdf
Rozdział 8, zwłaszcza prawa strona u góry. Niestety nie jestem w stanie podać autora tej książki, gdyż jest to znaleziony w internecie skan jej fragmentu(może ktoś kojarzy tytuł lub autora?).

[kelly128]

Może podam przykład pokazujący, że równania równoważne muszą mieć takie same dziedziny.
Rozwiążę równanie:
x+4=2
najpierw w zbiorze liczb naturalnych, a później w zbiorze liczb rzeczywistych.
1. \(\ x+4=2 \ \quad \quad D= \nn \\ x=-2 \notin D\)
2. \(\ x+4=2 \ \quad \quad D= \rr \\ x=-2 \in D\)

Pierwsze równanie nie ma rozwiązania, a drugie ma - więc nie mogą być równoważne.

[radagast]

Równania są równoważne wtedy i tylko wtedy gdy mają takie same zbiory rozwiązań i dziedzina nie ma tu nic do rzeczy.
np. Równania \(\sqrt{x}=-1\)oraz \(x+1=x+2\) są równoważne (mimo że mają różne dziedziny).