Równania wielomianowe z parametrem

[mahidevran]

1. Dla jakich wartosci parametru m rozwiazania x1,x2,x3 równania x^3 - 9x^2 +26x +m=0 spełniają warunki x2=x1+r x3= x1+2r? Wyznacz rozwiązania tego równania.
2. Wykaż ze dla kazdej wartosci parametru m (meR) równania x^3 + 2x + m^2x=2m^2 + 2x^2 +4 ma tylko jedno rozwiązanie.
Proszę o pomoc z góry dziękuje

[panb]

1. Dla jakich wartości parametru m rozwiązania x1,x2,x3 równania x^3 - 9x^2 +26x +m=0 spełniają warunki x2=x1+r x3= x1+2r? Wyznacz rozwiązania tego równania.

Dla łatwiejszego zapisu niech \(x_1=a, \,\,\, x_2=a+r,\,\,\ x_3=a+2r\). Skoro są to pierwiastki tego równania, to
\(x^3 - 9x^2 +26x +m \equiv (x-a)(x-a-r)(x-a-2r)=\\=x^3-(3r+3a)x^2+(2r^2+6ar+3a^2)x-(2ar^2+3a^2r+a^3)\)
Porównując współczynniki, otrzymujemy
\(\begin{cases} 3r+3a=9\\2r^2+6ar+3a^2=26\\m=-2ar^2-3a^2r-a^3\end{cases}\)
Rozwiązując układ dwóch pierwszych równań \(\begin{cases} 3r+3a=9\\2r^2+6ar+3a^2=26\end{cases}\) otrzymujemy \(\begin{cases} a=2\\r=1\end{cases}\) lub \(\begin{cases} a=4\\r=-1\end{cases}\)

Wstawiając te wartości do wzoru na m, dostajemy

• Odp.: \(m=-24\)

[panb]

2. Wykaż ze dla każdej wartości parametru m (meR) równania \(x^3 + 2x + m^2x=2m^2 + 2x^2 +4\) ma tylko jedno rozwiązanie.

\(x^3 + 2x + m^2x=2m^2 + 2x^2 +4 \iff x(x^2+m^2+2)=2(x^2+m^2+2) \iff (x-2)(x^2+m^2+2)=0\)
\(x^2+m^2+2>0\), więc równanie \((x-2)(x^2+m^2+2)=0\) ma tylko jedno rozwiązanie \(x=2\).
Zatem dla każdej wartości parametru m (\(m\in \rr\)) równanie \(x^3 + 2x + m^2x=2m^2 + 2x^2 +4\) ma tylko jedno rozwiązanie. c.n.d.