WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA I WYRAŻENIA WYMIERNE

[mtworek98]

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej k liczba \(k(k+1)(k+9)(k^2+1)\) jest podzielna przez 5.

[eresh]

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej k liczba \(k(k+1)(k+9)(k^2+1)\) jest podzielna przez 5.

\(k(k+1)(k+9)(k^2+1)=(k^2+k)(k^3+k+9k^2+9)=k^5+k^3+9k^4+9k^2+k^4+k^2+9k^3+9k=\\
=k^5+9k+10(k^4+k^3+k^2+k)=W\)

\(k^5+ 9k=k(k^4+9)=k(k^4+4+5)=k(k^4-5k^2+5+4+5k^2)=k(k^4-5k^2+4+5(k^2+1))=\\
=k((k^2-4)(k^2-1)+5(k^2+1)=\\=k(k-2)(k+2)(k-1)(k+1)+5k(k^2+1)=(k-2)(k-1)k(k+1)(k+2)+5k(k^2+1)\)

\(W=(k-2)(k-1)k(k+1)(k+2)+5k(k^2+1)+10(k^4+k^3+k^2+k)\)
jest podzielne przez 5, bo:
pierwszy składnik to iloczyn pięciu kolejnych liczb całkowitych (wśród nich musi być liczba podzielna przez 5)
drugi składnik jest podzielny przez 5
trzeci jest podzielny przez 10, więc również jest podzielny przez 5
suma trzech wyrażeń podzielnych przez 5 jest wyrażeniem podzielnym przez 5