WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA I WYRAŻENIA WYMIERNE
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA I WYRAŻENIA WYMIERNE
Wykaż, że jeśli \(a>b\ge1\) to \(\frac{a}{2+a^3}<\frac{b}{2+b^3}\).
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
\(a>b\ge 1\;\;\;\;stąd\;a-b>0\;\;czyli\;\;b-a<0\;\;oraz\;\;a+b>2\)
\(\frac{a}{2+a^3}- \frac{b}{2+b^3}<0\;/ \cdot (2+a^3)(2+b^3)\\a(2+b^3)-b(2+a^3)<0\\2a+ab^3-2b-a^3b<0\)
\(2(a-b)+ab(b^2-a^2)=-2(b-a)+ab(b-a)(b+a)=(b-a)[ab(b+a)-2]<0\)
Ostatnia nierówność jest prawdziwa z założenia
\(b-a<0\;\;\;i\;\;ab>1\;\;\;\;b+a>2\\czyli\\ ab(b+a)>2\)
W pierwszym nawiasie jest wartość ujemna,a w drugim (kwadratowym) jest dodatnia,to cały iloczyn jest ujemny.
\(\frac{a}{2+a^3}- \frac{b}{2+b^3}<0\;/ \cdot (2+a^3)(2+b^3)\\a(2+b^3)-b(2+a^3)<0\\2a+ab^3-2b-a^3b<0\)
\(2(a-b)+ab(b^2-a^2)=-2(b-a)+ab(b-a)(b+a)=(b-a)[ab(b+a)-2]<0\)
Ostatnia nierówność jest prawdziwa z założenia
\(b-a<0\;\;\;i\;\;ab>1\;\;\;\;b+a>2\\czyli\\ ab(b+a)>2\)
W pierwszym nawiasie jest wartość ujemna,a w drugim (kwadratowym) jest dodatnia,to cały iloczyn jest ujemny.
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.