Jedna nierówność wymierna z wartością bezwzględną

[janek882]

Witam

Jako że wasze zacne forum nie szanuje zdjęć, to muszę to przepisać, mam nadzieje że zrozumiecie.

\(\left|\frac{x+1}{x-2} \right| \le 1\).

Dziękuję temu, kto to ogarnie. Wiem, że jest to łatwe, ale po 3 podejściach się poddaję.

[panb]

Poprawię ci zapis, bo widzę, że próbowałeś walczyć z LaTeX'em.

Kod: Zaznacz cały

[tex] \frac{|x+1|}{|x-2|} |\le 1[/tex]

Daje to taki rezultat: \(\frac{|x+1|}{|x-2|} \le 1\)

ROZWIĄZANIE
Nierówność ma sens dla \(x\in \rr \bez \left\{ 2\right\}\). Wtedy:

• \(\frac{|x+1|}{|x-2|} \le 1 \iff \begin{vmatrix} \frac{x+1}{x-2} \end{vmatrix}\le 1 \iff -1\le \frac{x+1}{x-2} \le 1\)

Należy rozwiązać UKŁAD NIERÓWNOŚCI:
\[\begin{cases} \frac{x+1}{x-2}\ge -1\\ \frac{x+1}{x-2}\le 1\end{cases}\]

Dasz radę?
Pamiętaj o wyrzuceniu dwójki ze zbioru rozwiązań, jeśli się tam zaplącze!

• Odp.: \(x\in (-\infty,\frac{1}{2}] \iff x\le \frac{1}{2}\)

[kelly128]

\(\left|\frac{x+1}{x-2} \right| \le 1\).

\(-1 \le \frac{x+1}{x-2} \le 1 \\ \frac{x+1}{x-2} \le 1 \quad \wedge \quad \frac{x+1}{x-2} \ge -1 \\
\frac{x+1}{x-2}- \frac{x-2}{x-2} \le 0 \quad \wedge \quad \frac{x+1}{x-2}+ \frac{x-2}{x-2} \ge 0 \\ \frac{3}{x-2} \le 0 \quad \quad \wedge \quad \quad \frac{2x-1}{x-2} \ge 0 \\ 3(x-2) \le 0 \quad \wedge \quad (2x-1)(x-2) \ge 0 \\ x \in (- \infty ,2) \quad \wedge \quad x \in (- \infty, \frac{1}{2} > \cup (2,+ \infty) \\ x \in (- \infty, \frac{1}{2} >\) x\(\in \rr \bez \left\{ 2 \right\}\)

[janek882]

Dziękuję wszystkim za odpowiedzi. Już ogarniam, zablokował mi się umysł ale już wiem jak to robić.