Równanie trygonometryczne

[angela128]

rozwiąż równanie \(cos( 2x- \frac{ \pi } {3} )= \frac{ \sqrt{3} }{2} x\in <-2 \pi, 2 \pi >\)

[Galen]

\(cos\alpha=\frac{ \sqrt{3} }{2}\\to\\\alpha= \frac{\pi}{6}+2k\pi\\lub\\\alpha=- \frac{\pi}{6}+2k\pi\;\;\;\;\;i\;\;\;\;k\in C\)
Stąd równania:
\(2x- \frac{\pi}{3}= \frac{\pi}{6}+2k\pi\;\;\;\;\;\;lub\;\;\;\;\;2x- \frac{\pi}{3}=- \frac{\pi}{6}+2k\pi\)
Obliczasz x i podstawiając za k liczby całkowite ustalasz te wyniki ,które mieszczą się w podanym przedziale.
\(2x= \frac{\pi}{3}+ \frac{\pi}{6}+2k\pi\;\;\;\;\;lub\;\;\;\;2x= \frac{\pi}{3}- \frac{\pi}{6}+2k\pi\\
2x= \frac{3\pi}{6}+2k\pi= \frac{\pi }{2}+2k\pi\;\;\;\;lub\;\;\;\;\;2x= \frac{\pi}{6}+2k\pi\)
Dzieląc przez 2 masz wzory na x
\(x= \frac{\pi}{4}+k\pi\;\;\;\;\;\;lub\;\;\;\;\;x= \frac{\pi}{12}+k\pi\)
\(x\in \left\{ -1 \frac{3}{4}\pi;- \frac{3}{4}\pi; \frac{\pi}{4} ;1\frac{1}{4}\pi;-1 \frac{11}{12}\pi;- \frac{11}{12}\pi; \frac{\pi}{12};1 \frac{1}{12}\pi \right\}\)

Widzę tam po lewej stronie równania \((2x- \frac{ \sqrt{\pi} }{3})\)???
Moje rozwiązanie nie uwzględnia tego pierwiastka z pi,tylko samo pi...
Sprawdź,czy Twój zapis jest ok...

[angela128]

Wyszły mi takie wyniki
\(x= \frac{3}{12} \pi +k \pi\) gdzie \(k \in C <-2,1>\)
lub
\(x= \frac{ \pi }{12} +k \pi\) gdzie \(k \in C <-2,1>\)

[Galen]

To mamy tak samo
\(\frac{3\pi}{12}= \frac{\pi}{4}\)

[panb]

Zasada, jak z lewej tak z prawej prowadzi do równania:
\(\cos \left( 2x- \frac{\sqrt\pi}{3} \right)=\cos \frac{\pi}{6}\\
2x- \frac{\sqrt\pi}{3}= \frac{\pi}{6} +2k\pi \,\,\vee \,\,2x- \frac{\sqrt\pi}{3}=- \frac{\pi}{6}+2k\pi \\
2x= \frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt\pi}{3}+2k\pi \,\, \vee \,\,2x=-\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt\pi}{3}+2k\pi\\
x=\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt\pi}{6}+k\pi \,\, \vee \,\, x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt\pi}{6}+k\pi\)

Twoje zadanie (wcale niełatwe i do tego niewdzięczne) to zbadać dla jakich \(k\in\zz\) tak wyliczone iksy mieszczą się w zadanym przedziale (mi wyszło 8 sztuk).

[panb]

Nie poprawiłaś tego \(\sqrt\pi\)?!! Niewybaczalne!

[Galen]

Nie poprawiłaś tego \(\sqrt\pi\)?!! Niewybaczalne!

Ja nie wierzę w ten \(\sqrt{\pi}\)
Przecież to jest szkoła średnia,a nie studia...

[angela128]

Poprawiłam