Wartość bezwzględna / nierówności

[Aria]

a) \(|7-x|+|x-1| \le x+14\)
b) \(|2-x|-|6-x|>x -3\)
Byłabym wdzięczna gdyby ktoś oprócz rozwiązania mógł wytłumaczyć czemu tak zrobił

[radagast]

a) \(|7-x|+|x-1| \le x+14\)
Byłabym wdzięczna gdyby ktoś oprócz rozwiązania mógł wytłumaczyć czemu tak zrobił

\(|7-x|+|x-1| \le x+14\)
rozważ 3 przypadki:
1)\(x<1\)
2)\(1 \le x<7\)
3)\(x \ge 7\)

[Galen]

a)
Definiujesz wartości bezwzględne:
\(|7-x|= \begin{cases} 7-x\;\;\;dla\;\;x<7\\x-7\;\;\;dla\;\;\;x\ge 7\end{cases}\)
\(|x-1|= \begin{cases} -x+1\;\;\;dla\;\;x<1\\x-1\;\;\;dla\;\;x\ge 1\end{cases}\)
Rozwiązujesz nierówność w przedziałach:
\((- \infty ;1); <1;7);<7;+ \infty )\)
\(I\\x\in (- \infty ;1)\\7-x-x+1\le x+14\\-3x\le 6\\x\ge -2\\x\in <-2;1)\)
\(II\\x\in <1;7)\\7-x+x-1\le x+14\\x\ge-8\\x\in <1;7)\)
\(III\\x\in <7;+ \infty )\\x-7+x-1\le x+14\\x\le 22\\x\in <7;22>\)
Tworzysz sumę otrzymanych zbiorów rozwiązań:
\(x\in <-2;22>\)

[Aria]

A czemu w pierwszym przypadku jest -x + 1 skoro ujemny mam cały moduł i powinno buc x- 1

[radagast]

A tak to wygląda na obrazku:

ScreenHunter_1740.jpg (33.16 KiB) Przejrzano 1978 razy

[Galen]

b)
\(|2-x|-|6-x|>x-3\\
|2-x|= \begin{cases}2-x\;\;\;dla\;\;x<2\\x-2\;\;\;dla\;\;x \ge 2 \end{cases}\\
|6-x|= \begin{cases} 6-x\;\;\;\;dla\;\;\;x<6\\x-6\;\;\;\;dla\;\;\;x \ge 6 \end{cases}\)
\(I\\x\in (- \infty ;2)\\(2-x)-(6-x)>x-3\\-x>1\\x<-1\\x\in (- \infty ;-1)\)
\(II\\x\in <2;6)\\(x-2)-(6-x)>x-3\\x>5\\x\in (5;6)\)
\(III\\x\in <6;+ \infty )\\x-2-(x-6)>x-3\\x-2-x+6-x>-3 \\-x>-7\\x<7\\x\in <6;7)\)
Zbiór rozwiązań jest sumą otrzymanych przedziałów:
\(x\in (- \infty ;-1) \cup (5;7)\)

[Galen]

A czemu w pierwszym przypadku jest -x + 1 skoro ujemny mam cały moduł i powinno buc x- 1

Liczba przeciwna dla (x-1) to (-x+1)
Moduł liczby ujemnej jest równy jej liczbie przeciwnej.