Rozwiąż nierówność

[angela128]

Rozwiąż nierówność \(x-4 \le \sqrt{3}x-5\)
1) Rozwiązanie przedstaw w postaci \(x \ge a \sqrt{c}+b \cup x \le a \sqrt{c} +b\)
2) Podaj najmniejszą liczbę całkowitą spełniającą nierówność

[kelly128]

Rozwiąż nierówność \(x-4 \le \sqrt{3}x-5\)

1) \(x-4 \le \sqrt{3}x-5 \\ \sqrt{3}x-x \ge5-4 \\ ( \sqrt{3}-1)x \ge 1 \\ x \ge \frac{1}{ \sqrt{3} -1 } \cdot \frac{ \sqrt{3} +1 }{ \sqrt{3} +1 } = \frac{ \sqrt{3} +1 }{ 2 } \\ x \ge \frac{1}{2} \sqrt{3}+ \frac{1}{2}\)

2) \(\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4} \\ 2 < \sqrt{3}+1< 3 \\ 1< \frac{ \sqrt{3}+1 }{2} < \frac{3}{2}\)
Najmniejsza liczba całkowita spełniająca nierówność to 2.

[angela128]

A mogę poprosić podpowiedź skąd się wzięło b? rozumiem, że to rozwiązanie \(x \ge \frac{1}{2} * \sqrt{3} + \frac{1}{2}\)to już jest odpowiedź na a czyli jest to \(x \ge a \sqrt{c} +b \cup x \le a \sqrt{c}+b\)

[kelly128]

\(\frac{ \sqrt{3} +1}{2} = \frac{ \sqrt{3} }{2}+ \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \sqrt{3} +\frac{1}{2}\)
To jest ta sama liczba zapisana na 3 sposoby. Ta ostatnia postać jest tą, którą trzeba było podać.

2) Nierówność spełniają wszystkie liczby należące do zbioru \(< \frac{ \sqrt{3} +1}{2}; + \infty)\), zatem najmniejsza liczba całkowita należąca do tego zbioru to 2, bo \(\ 1< \frac{ \sqrt{3} +1}{2}< \frac{3}{2} <2.\)

[kelly128]

Można też sprawdzić, że \(\frac{ \sqrt{3}+1 }{2} \approx 1,37.\)