Nierówność

[avter]

Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x różnej od zera takiej, że x^6 - 1/x^6 > 1 , prawdziwa jest nierówność x^18 + 1/x^18 > 2x^6 + 2/x^6 .

[Panko]

Nie jest to satysfakcjonujące rozwiązanie .
Dla \(x \neq 0\)
\(x^6 - \frac{1}{x^6}>1\) \(\iff\) \(x^{12}-x^6-1>0\)
.........................................................................................
\(x^{18} + \frac{1}{x^{18}}> 2( x^6 + \frac{1}{x^6})\)\(\iff\) \(x^{36}-2x^{24}-2x^{12}+1>0\)
Teraz korzystając z https://www.wolframalpha.com dostajemy rozkład

\(x^{36}-2x^{24}-2x^{12}+1=(x^4+1)(x^8-x^4+1)( x^{12}-x^6-1)( x^{12}+x^6-1 )\)
ponieważ : \(x^{12}-x^6-1>0\) z założenia
oraz \(x^4+1>1\) dla \(x \neq 0\)
oraz \(x^8-x^4+1= ( x^4- \frac{1}{2})^2+ \frac{3}{4} > \frac{3}{4}\)
oraz \(x^{12}+x^6-1 >2x^6>0\)
To jest ok .
............................................................................................
Zostaje pracowicie uzyskać ten rozkład ( najlepiej zwijając ten znany )
...........................................................................................
To był tylko błąd wierszowy , prawa strona była ok , jak i dalej.

[avter]

W treści jest x^18 + 1/x^18. A nie x^18 - 1 / x^18.