Układ nierównosci wymiernej

[Klusiek2]

a)\(\begin{cases}\frac{5}{x+3}- \frac{1}{x-1} <1\\
\frac{4}{x^2+5x}+ \frac{x+1}{x+5}< \frac{2}{x}\end{cases}\)

[Galen]

Rozwiąż każdą nierówność i ustal część wspólną otrzymanych zbiorów rozwiązań.
\(\frac{5}{x+3}- \frac{1}{x-1}<1\;\;\;\;\;\;i\;\;\;x \neq -3\;\;i\;\;x \neq 1\)
\(\frac{5(x-1)-1(x+3)-(x+3)(x-1)}{(x+3)(x-1)}<0\\
\frac{-x^2+2x-5}{(x+3)(x-1)}<0\)
Licznik jest ujemny,więc mianownik musi być dodatni.Wtedy cały ułamek będzie ujemny.
\((x+3)(x-1)>0\\dla\\x\in (- \infty ;-3) \cup (1;+ \infty )=A\)
Druga nierówność:
\(\frac{4}{x(x+5)}+ \frac{x+1}{x+5}- \frac{2}{x}<0\;\;\;\;\;\;i\;\;\;x \neq 0\;\;i\;\;x \neq -5\\
\frac{4+x(x+1)-2(x+5)}{x(x+5)}<0\\ \frac{x^2-x-6}{x(x+5)}<0\\ \frac{(x+2)(x-3)}{x(x+5)}<0 \\
(x+5)(x+2)x(x-3)<0\)
Kreślisz krzywą znaków przez miejsca zerowe ,poczynając od prawej strony z góry...(tzw.wężyk)...
\(x\in (-5;-2) \cup (1;3)=B\)
Zbiorem rozwiązań układu nierówności jest część wspólna \(A \cap B\)
Odp.
\(x\in (-5;-3) \cup (1;3)\)