Niewiadoma pod znakiem pierwiastka

[trudne]

Rozwiąż równania:
a)\(\sqrt{3x+4}+\sqrt{x-4}=2\sqrt{x}\)
b)\(\sqrt{15-x}+\sqrt{3-x}=6\)
c)\(\sqrt{3x+7}=2+\sqrt{x+1}\)
d)\(\sqrt{x+1}-\sqrt{9-x}=\sqrt{2x-12}\)

[RozbrajaczZadaniowy]

a)\(\sqrt{3x+4}+ \sqrt{x-4}=2 \sqrt{x} \ ()^2
\\3x+4+2\sqrt{3x+4} \cdot \sqrt{x-4}+x-4=4x
\\2\sqrt{3x+4} \cdot \sqrt{x-4}=0
\\\sqrt{3x+4} \cdot \sqrt{x-4}=0 \ ()^2
\\ (3x+4)(x-4)=0
\\x=- \frac{4}{3} \ \vee \ x=4\)

I jeszcze dziedzina:
\(3x+4 \ge 0 \ \wedge \ x-4 \ge 0 \ \wedge \ x \ge 0
\\x \ge - \frac{4}{3} \ \wedge \ x \ge 4 \ \wedge \ x \ge 0
\\x \ge 4\)

Więc tylko \(x=4\) jest rozwiązaniem.

Pozostałe przykłady niemal identycznie.

[trudne]

Bardzo dziękuje

[Galen]

\(b)\\
\sqrt{15-x}+ \sqrt{3-x}=6\;\;\;\;\;D=(- \infty ;3>\\
\sqrt{15-x}=6- \sqrt{3-x}\)
Obie strony do kwadratu:
\(15-x=36-12 \sqrt{3-x}+3-x\\
12 \sqrt{3-x}=24\\
\sqrt{3-x}=2\)
Znów do kwadratu
\(3-x=4\\
x=-1\)

[Galen]

c)
Ustal dziedzinę \(x\in <-1;+ \infty )\)
Podnieś obie strony do kwadratu,otrzymasz
\(3x+7=4+4 \sqrt{x+1}+x+1\\
2x+2=4 \sqrt{x+1}\;/:2\\
x+1=2 \sqrt{x+1}\)
Znów do kwadratu
\(x^2+2x+1=4x+4\\
x^2-2x-3=0\\
x_1=-2 \notin D\\
x_2=3\)
Jedno rozwiązanie.

[Galen]

d)\(\sqrt{x+1}-\sqrt{9-x}=\sqrt{2x-12}\)
\(D=<6;9>\\
x+1-2 \sqrt{(x+1)(9-x)}+9-x =2x-12\\
-2 \sqrt{(x+1)(9-x)}=2x-22\\
\sqrt{(x+1)(9-x)}=x-11\)
\((x+1)(9-x)=x^2-22x+121\\
9x-x^2+9-x=x^2-22x+121\\
-2x^2+30x-112=0\\
x^2-15x+56=0\\
x_1=7\\x_2=8\)
Sprawdź te rozwiązania,bo podnoszenie do kwadratu może spowodować pojawienie się tzw.pierw.obcych.
Wtedy po sprawdzeniu trzeba je odrzucić.
Ja przyjmuję \(x=8\)
A może mam błąd rachunkowy ? Sprawdź mnie,proszę.

[Ryszard26]

Mam problem bo w tym zadaniu nie ma rozwiązania.Tylko jak tego dowieść???
\(\sqrt{x+3}\) \(+\)\(\sqrt{x+5}\)\(=\)\(\sqrt{2x+7}\)

No i uważam że w podpunkcie d) 7 i 8 to dobre rozwiązania.