forum.zadania.info

Dane jest równanie drugiego stopnia z parametrem m: x^2+y^2 -2mx +2y+m+1=0.
a) Jaką figurę geometryczną opisuje to równanie w przypadku gdy m=1?
b) Wyznacz wszystkie wartości parametru m dla których równanie opisuje okrąg. Następnie wybierz liczbę m, dla której prosta k:3x+4y+1=0 jest styczna do tego okręgu.

a)

Jeśli m=1, to równanie :

\(x^2+y^2-2x+2y+2=0\\(x-1)^2-1+(y+1)^2-1+2=0\\(x-1)^2+(y+1)^2=0\)

jest spełnione tylko przez parę liczb (1; -1). Opisuje więc punkt (1; -1).

b)

\(x^2+y^2-2mx+2y+m+1=0\\(x-m)^2-m^2+(y+1)^2-1+m+1=0\\(x-m)^2+(y+1)^2=m^2-m\)

Równanie to opisuje okrąg, jeśli

\(m^2-m>0\\m(m-1)>0\\m\in(-\infty;0)\cup(1;\infty)\)

Prosta 3x+4y+1=0 jest styczna do tego okręgu, jeśli jej odległość od środka okręgu jest równa promieniowi.

Promień tego okręgu wynosi \(\sqrt{m^2-m}\). Środek okręgu to punkt (m; -1).

\(\frac{|3m-4+1|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\sqrt{m^2-m}\\\frac{|3m-3|}{5}=\sqrt{m^2-m}\\(3m-3)^2=25(m^2-m)\\16m^2-7m-9=0\\\Delta=625\\\sqrt{\Delta}=25\\m_1=-\frac{9}{16}\vee\ m_2=1 \notin D\\m=-\frac{9}{16}\)

w 4 linijce od końca powinno być \(16m^2-7m-9\)

Tak, zaraz poprawię

nie do konca rozumiem... zrobilem to zadanie uzywajac wzoru na odleglosc punktu (srodku okregu) od prostej i wyszlo mi 2^1/2,
podstawilem m^2 - m = 2 ((2^1/2)^2) i wyszly mi pierwiastki 2 oraz -1

Nie bardzo wiem, jak liczyłeś- może zapiszesz?