Równania z parametrem

[jekyll]

Cześć!

Rozwiąż równania z parametrem a \(a \in R\)
\(\frac{1}{2a+ax} - \frac{1}{2x-x^2} = \frac{2(a+3)}{x^3-4x}\)
Odpowiedź w książce jest taka: \(x=-2a\) lub \(x=a+2\) dla\(a \in R - \left\{-4, -2, -1 - \frac{2}{3}, 0, 1 \right\}\); \(x= 1 \frac{1}{3}\) dla \(a=- \frac{2}{3}\); \(x=1\) dla \(a=-1\); \(x=3\) dla \(a=1\); \(x=4\) dla \(a=-2\); \(x=8\) dla \(a=-4\). Równanie nie ma sensu dla \(a=0\)

Dla jakich wartości parametru m \(m \in R\):
równanie \(\frac{3}{2x-m} = \frac{4}{mx-8}\) ma ujemne rozwiązania?
Odpowiedź: \(m \in (- \infty , 0) \cup (-4, 2 \frac{2}{3}) \cup (6, + \infty )\)

[math12]

\(\frac{3}{2x-m} = \frac{4}{mx-8}\)

\(2x-m \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{m}{2}\)
\(mx-8 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{8}{m} \Rightarrow m \neq 0\)

\(\frac{3}{2x-m} = \frac{4}{mx-8} \\ 3mx-24=8x-4m \\ 3mx-8x=24-4m \\ x(3m-8)=24-4m \\ x= \frac{24-4m}{3m-8}\)

\(x<0 \Leftrightarrow \frac{24-4m}{3m-8}<0 \Leftrightarrow (24-4m)(3m-8)<0\)

\((24-4m)(3m-8)=0 \\ m_{1}=6 \vee m_{2}=2 \frac{2}{3}\)

ramiona parabola ma skierowane do dołu więć \(m \in(- \infty ;2 \frac{2}{3}) \cup (6;+ \infty )\) uwzględniając że \(m \neq 0\) otrzymujemy odp.:

\(m \in(- \infty ;0) \cup (0;2 \frac{2}{3}) \cup (6;+ \infty )\)

nie wiem skąd te -4 ??

[jola]

trzeba jeszcze zbadać dla jakich m jest \(\ x \neq \frac{m}{2}\ \ \ \wedge \ \ \ x \neq \frac{8}{m}\)

\(\begin{cases}x= \frac{24-4m}{3m-8}\\ x \neq \frac{m}{2} \\ x \neq \frac{8}{m}\\ m \neq 0 \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \begin{cases}m \neq 0\\ \frac{24-4m}{3m-8} \neq \frac{m}{2}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ m^2 \neq 16\ \ \ \Rightarrow \ \ m \neq 4\ \ \wedge \ \ m \neq -4\\ \frac{24-4m}{3m-8} \neq \frac{8}{m}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ m^2 \neq 16\ \ \ \Rightarrow \ \ m \neq 4\ \ \ \wedge \ \ \ m \neq -4 \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ m \notin \left\{\ -4;\ 0;\ 4\ \right\}\)

uwzględniając rozwiązanie math12:

\(\begin{cases}m \in (- \infty ;0) \cup (0;2 \frac{2}{3}) \cup (6;+ \infty )\\ m \notin \left\{\ -4;0;4 \right\} \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ m \in (- \infty ;-4) \cup (-4;0) \cup (0;2 \frac{2}{3} ) \cup (6;+ \infty )\)

[Januszgolenia]

m może być równe zero bo \(\frac{3}{2x}= \frac{4}{-8}\) to x=-3 i rozwiązanie jest ujemne.
Zatem odpowiedź jest \(m \in (- \infty ,-4) \cup (-4,2 \frac{2}{3}) \cup (6,+ \infty )\).