Nierówność

[baosiem]

Dana jest funkcja: f(x) = log9(2x + 1). Rozwiąż nierówność f(f(2x)) ≤ 0.

[jola]

Czy cyfra 9 jest podstawą logarytmu ?

[baosiem]

tak cyfra 9 to podstawa tego logarytmu


widziałem rozwiązanie ale chyba znikło xD

[Pol]

------------------------------------------------------------

\(f(2x) = log_9(4x+1)\)

\(f(f(2x)) = log_9(2(log_9(4x+1))+1)\)

------------------------------------------------------------

dziedzina:

\(2x+1 > 0\\ \ \\
x > -\frac 1 2\)

------------------------------

\(4x+1 > 0\\ \ \\
x > -\frac 1 4\)

------------------------------

\(2(log_9(4x+1))+1 > 0\\ \ \\
log_9(4x+1) > -\frac 1 2\\ \ \\
4x+1 > \frac 1 3\\ \ \\
4x > -\frac 2 3\\ \ \\
x > -\frac 1 6\)

------------------------------------------------------------

\(log_9(2(log_9(4x+1))+1) <= 0\\ \ \\
2(log_9(4x+1))+1 <= 1\\ \ \\
2(log_9(4x+1)) <= 0\\ \ \\
log_9(4x+1) <= 0\\ \ \\
4x+1 <= 1\\ \ \\
4x <= 0\\ \ \\
x <= 0\)

------------------------------------------------------------

\(x \in (-\frac 1 6 , 0>\)

[Pol]

było było, ale nie uwzględniłem całej dziedziny , teraz powinno być dobrze (jesli nie ma bledu rachunkowego;) )

[baosiem]

Pol co zrobiłeś w 4 częsci zadania pomiędzy 2 a 3 linijką?

[Pol]

mam nadzieje ze chodzi o to

\(2(log_9(4x+1))+1 > 0\\ \ \\
log_9(4x+1) > -\frac 1 2\\ \ \\
log_9(4x+1) > log_9 ({\frac 1 3}) \\ \ \\
4x+1 > \frac 1 3\\ \ \\
4x > -\frac 2 3\\ \ \\
x > -\frac 1 6\)

3 linijka to zamiana wartości \(-\frac 1 2\) na logarytm o podstawie 9, którego wynikiem jest właśnie \(-\frac 1 2\)

\(log_9 {\frac 1 3} = -\frac 1 2\\ \ \\
\frac 1 3 = 9^{-\frac 1 2}\\ \ \\
\frac 1 3 = 3^{-1}\\ \ \\
\frac 1 3 = \frac 1 3\\ \ \\\)

[baosiem]

Dziękuje ślicznie Pol:)