Równania i nierówności logarytmiczne

[poju]

Witam,

Prosilbym o pomoc w 2 przykladach:
1)
log(2) x + log(4) x + log(8) x = 2
(k) - podstawa logarytmu

2)
log x + log(x+1) >= 2

Moje odpowiedzi:
1) x = pier. 11 stopnia z 4(do pot. 6)
2) x E ( -1 + pier. z 401 /2) U +niesk.

Wyszły mi dziwne wyniki i prosilbym o pomoc w dojściu do prawidłowych rozwiązań.

3)
2log x + 3 log 2 <5

[jola]

Zad.1

\(\log_2x+\log_4x+log_8x=2 \ \ \ i\ \ \ x>0\)

\(\log_2x+\frac{log_2x}{\log_24}+\frac{log_2x}{\log_28}=2\)

\(\log_2x+\frac{\log_2x}{2}+\frac{\log_2x}{3}=2\)

\(6\log_2x+3\log_2x+2\log_2x=12\)

\(11\log_2x=12\)

\(\log_2x=\frac{12}{11}\)

\(x=2^{\frac{12}{11}}\)

\(x=2\cdot{2^{\frac{1}{11}}}\)

\(x=2\cdot\sqrt[11]{2}\)


Zad.2

\(\log x+\log(x+1)\geq 2\ \ i\ \ x>0\)

\(\log {[x(x+1)]}\geq {\log 100}\)

\(x(x+1)\geq 100\)

\(x^2+x-100\geq 0\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \Delta=401\ \ \ i\ \ \ x=\frac{-1-\sqrt{401}}{2}\ \ \ lub\ \ \ x=\frac{-1+\sqrt{401}}{2}\)

\(x\in (-\infty\ ;\ \frac{-1-\sqrt{401}}{2}>\cup <\frac{-1+\sqrt{401}}{2}\ ;\ +\infty )\ \ \ i\ \ x>0\)

\(x\in <\frac{-1+\sqrt{401}}{2}\ ;\ +\infty)\)


Zad.3

\(2\log x+3\log 2<5\ \ \ i\ \ \ x>0\)

\(\log x^2+\log 8< 5\)

\(\log (8x^2)<\log 10^5\)

\(8x^2<10^5\)

\(x^2<125000\)

\(-250\sqrt{2}<x<250\sqrt{2}\ \ \ \ i\ \ \ x>0\)

\(x\in (\ 0\ ;\ 250\sqrt{2})\)

[poju]

Czy moja odpowiedz:
\(x=2\cdot\sqrt[11]{2}\)
jest równa:
\(x=\sqrt[11]{4^6}\)

? ?

[jola]

\(\sqrt[11]{4^6}=\sqrt[11]{2^{12}}=2^{\frac{12}{11}}=2^{1+\frac{1}{11}}=2\cdot 2^{\frac{1}{11}}=2\cdot \sqrt[11]{2}\)