symbol Newtona

[Mateus19071993]

1.Wyznacz wszystkie liczby n spełniające nierówność \({ n\choose 3} + { n\choose 4} < { n+1\choose 3 }\)
2.Wyznacz liczbę naturalną n dla której spełnione są jednocześnie nierówności \({ n\choose 8}> { n\choose 7}\)oraz \({ n\choose 8} > { n\choose 9}\)
3.Rozwiąż nierówności
a)\({ n\choose4 } > { n\choose 5}\)
b)\({ n\choose n-4} < {n \choose n-3}\)

[irena]

\({n \choose 3} + {n \choose 4} < {n+1 \choose 3} \\n\ge4\\\frac{n(n-1)(n-2)}{2\cdot3}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot3\cdot4}<\frac{(n+1)n(n-1)}{2\cdot3}\ /\cdot2\cdot3\cdot4\\4n(n-1)(n-2)+n(n-1)(n-2)(n-3)<4n(n+1)(n-1)\ /:n(n-1)\\4n-8+n^2-5n+6-4n-4<0\\n^2-5n-6<0\\(n-6)(n+1)<0\\n\in(-1;\ 6)\\n\ge4\\n\in \left\{4,\ 5 \right\}\)

[irena]

Można też tak;
\({n \choose 3} + {n \choose 4} = {n+1 \choose 4} \\ {n+1 \choose 4} < {n+1 \choose 3} \\\frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{2\cdot3\cdot4}<\frac{(n+1)n(n-1)}{2\cdot3}\\n\ge4\\n(n+1)(n-1)>0\\\frac{n-2}{4}<1\\n-2<4\\n<6\\n\ge4\\n=4\ \vee\ n=5\)

[Kanodelo]

Mój kolega zrobił to tak i nie wie gdzie jest błąd:
\({ n\choose 3}= \frac{n!}{3!(n-3)!} \\ { n\choose 4} = \frac{n!}{4!(n-4)!} \\ {n+1 \choose 3}= \frac{(n+1)!}{3!(n-2)!}\) \(\frac{n!}{3!(n-3)!} +\frac{n!}{4!(n-4)!} < \frac{(n+1)!}{3!(n-2)!} \\ \frac{4n!(n-2)}{4!(n-2)!} + \frac{n!(n-3)(n-2)}{4!(n-2)!}- \frac{4(n+1)!}{4!(n-2)!}<0 \\ \frac{4n! \left( n-2+n-3+n-2-n-1\right) }{4!(n-2)!}<0 \\ \frac{4n!(2n-8)}{4!(n-2)!}<0 \\ \frac{(n-1)(n)(2n-8)}{6}<0 \wedge n>0\\ n\in(1,4)\)

[irena]

\((n-3)(n-2)=n^2-5n+6\), a nie \(n-3+n-2\)

[irena]

2.
\({n \choose 8} > {n \choose 7} \\n\ge8\\\frac{n!}{8!(n-8)!}>\frac{n!}{7!(n-7)!}\ /\cdot8!(n-7)!\\n!(n-7)>8n!\ /:n!\\n-7>8\\n>15\)

\({n \choose 8} > {n \choose 9} \\\frac{n!}{8!(n-8)!}>\frac{n!}{9!(n-9)!}\ /\cdot9!(n-8)!\\9n!>n!(n-8)\ /:n!\\9>n-8\\n<17\)

\(15<n<17\\n=16\)

[irena]

3.
\({n \choose 4} > {n \choose 5} \\n\ge5\\\frac{n!}{4!(n-4)!}>\frac{n!}{5!(n-5)!}\ /\cdot5!(n-4)!\\5n!>n!(n-4)\ /:n!\\5>n-4\\n<9\\\\5\le n<9\\n\in \left\{5,\ 6,\ 7,\ 8 \right\}\)

[irena]

\({n \choose n-4} < {n \choose n-3} \\n\ge4\\\frac{n!}{(n-4)!4!}<\frac{n!}{(n-3)!3!}\ /\cdot4!(n-3)!\\(n-3)n!<4n!\ /:n!\\n-3<4\\n<7\\4\le n<7\\n\in \left\{4,\ 5,\ 6 \right\}\)

[Dexous]

Mam problem z tym samym zadaniem to moze nie bede zakladac nowego tematu tylko tu napisze.
\({n \choose 3} + {n \choose 4} < {n+1 \choose 3} \\n\ge4\\\frac{n(n-1)(n-2)}{2\cdot3}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot3\cdot4}\)

Moglby mi ktos wytlumaczyc te przejscie ? Glownie chodzi mi o to ze nie ma zadnych silni.

[octahedron]

\({n \choose 3} + {n \choose 4} < {n+1 \choose 3}
\frac{n!}{(n-3)! \cdot 3!}+\frac{n!}{(n-4)! \cdot 4!}<\frac{(n+1)!}{(n-2)! \cdot 3!}
\frac{n!}{(n-4)!(n-3) \cdot 3!}+\frac{n!}{(n-4)! \cdot 3!\cdot 4}<\frac{n!(n+1)}{(n-4)!(n-3)(n-2) \cdot 3!}
\frac{1}{n-3}+\frac{1}{4}<\frac{n+1}{(n-3)(n-2)}\)

[Dexous]

Dzieki wielkie. Molgby ktos wyjasnic jeszcze sposob Ireny z 2 postu, gdzie te wszystkie dzialania sa zrobione odrazu i wszystkie niewiadome sa juz w liczniku ?

[Galen]

Pokażę Ci pełny zapis
\(\frac{n!}{8!(n-8)!}>\frac{n!}{7!(n-7)!}\)
Będzie mnożenie obu stron przez
\(8!(n-7)!=7!\cdot 8\cdot (n-8)!\cdot (n-7)\)
Ta postać idzie do licznika,ale po lewej opłaca się (n-8)!,zaś po prawej wygodnie będzie zachować (n-7)!.
Przy takim zapisie łatwiej się skraca.
Irena zrobiła to natychmiast,żeby uniknąć klikania...
\(\frac{n!\cdot 8!\cdot (n-8)!\cdot (n-7)}{8!\cdot (n-8)!}>\frac{n!\cdot 7!\cdot 8\cdot (n-7)!}{7!(n-7)!}\)
Otrzymujesz "natychmiast"
\(n!\cdot (n-7)>n!\cdot 8\;/:n!\\
n>15\)

[Dexous]

Dzieki wielkie. Rozumie juz

[VirtualUser]

Można też tak;
\({n \choose 3} + {n \choose 4} = {n+1 \choose 4}\)

z czego wynika to przekształcenie? Jakieś gotowe twierdzenie?

[radagast]

Jest takie: \({n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1}\)

Dowodzik potrzebny ?