Dany jest układ równań \(\begin{cases}mx-y=2\\ x+my=m \end{cases}\)
dla każdej wartości parametru m wyznacz parę liczb (x,y), która jest rozwiązaniem tego układu.
Wyznacz najmniejszą wartość sumy x+y dla \(m\in [2,4]\)
Proszę o pomoc!
wyznacz parę liczb
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Pol
- Moderator
- Posty: 1026
- Rejestracja: 01 gru 2008, 10:00
- Lokalizacja: Częstochowa
- Otrzymane podziękowania: 137 razy
- Płeć:
metodą wyznacznikową lub przez podstawienie wyznaczamy x oraz y:
\(x = \frac {3m} {m^2+1} \\
y = \frac {m^2-2} {m^2+1} \\
x + y = \frac {3m} {m^2+1} + \frac {m^2-2} {m^2+1} = \frac {m^2+3m-2} {m^2+1} = 1 + 3 \frac {m-1} {m^2+1}\)
wyznaczona suma przyjmuje najmniejszą wartość dla takiego "m", dla którego funkcja opisana wzorem
\(f(m) = \frac {m-1} {m^2+1}\)
przyjmuje najmniejszą wartość, badamy monotoniczność w/w funkcji:
pierwsza pochodna: \(f'(m) = \frac {-m^2+2m+1} {(m^2+1)^2}\)
druga pochodna: \(f''(m) = \frac {2(m^2+1)(m^3-3m^2-3m+1))} {(m^2+1)^4}\)
przyrównujemy pierwszą pochodną do 0 i otrzymujemy (miejsca zerowe) punkty podejrzane o ekstremum (warunek konieczny)
\(m_1 = 1+\sqrt {2}\\
m_2 = 1-\sqrt {2}\)
podstawiamy \(m_1 \ \text {oraz} \ m_2\) do wzoru drugiej pochodnej i obliczamy wartość, jeśli < 0 to w danym punkcie jest maksimum, jeśli > 0 to minimum, po podstawieniu otrzymamy że dla \(m = 1+\sqrt {2}\) wartość jest ujemna (maksimum funkcji f(m)) a dla \(m = 1-\sqrt {2}\) wartość jest dodatnia (minimum funkcji f(m))
z tych obliczeń można również wywnioskować że funkcja f(m) maleje w przedziałach \((-\infty , \ m_2), (m_1 \ , \ \infty)\) a rośnie w przedziale \((m_2 \ , \ m_1)\)
nas interesuje najmniejsza wartość funkcji f(m) w przedziale \(<2 \ , \ 4>\), ponieważ maksimum znajduje się w tym przedziale, należy zbadać końce tego przedziały, tj wartość f(2) oraz f(4)
\(f(2) = \frac 1 3 \\
f(4) = \frac 3 {17} \\
f(2) > f(4)\)
stąd najmniejsza wartość wyrażenia \(x+y\) wynosi: \(1 + 3 \cdot \frac 3 {17} = \frac {26} {17}\)
odp. \(\frac {26} {17}\)
\(x = \frac {3m} {m^2+1} \\
y = \frac {m^2-2} {m^2+1} \\
x + y = \frac {3m} {m^2+1} + \frac {m^2-2} {m^2+1} = \frac {m^2+3m-2} {m^2+1} = 1 + 3 \frac {m-1} {m^2+1}\)
wyznaczona suma przyjmuje najmniejszą wartość dla takiego "m", dla którego funkcja opisana wzorem
\(f(m) = \frac {m-1} {m^2+1}\)
przyjmuje najmniejszą wartość, badamy monotoniczność w/w funkcji:
pierwsza pochodna: \(f'(m) = \frac {-m^2+2m+1} {(m^2+1)^2}\)
druga pochodna: \(f''(m) = \frac {2(m^2+1)(m^3-3m^2-3m+1))} {(m^2+1)^4}\)
przyrównujemy pierwszą pochodną do 0 i otrzymujemy (miejsca zerowe) punkty podejrzane o ekstremum (warunek konieczny)
\(m_1 = 1+\sqrt {2}\\
m_2 = 1-\sqrt {2}\)
podstawiamy \(m_1 \ \text {oraz} \ m_2\) do wzoru drugiej pochodnej i obliczamy wartość, jeśli < 0 to w danym punkcie jest maksimum, jeśli > 0 to minimum, po podstawieniu otrzymamy że dla \(m = 1+\sqrt {2}\) wartość jest ujemna (maksimum funkcji f(m)) a dla \(m = 1-\sqrt {2}\) wartość jest dodatnia (minimum funkcji f(m))
z tych obliczeń można również wywnioskować że funkcja f(m) maleje w przedziałach \((-\infty , \ m_2), (m_1 \ , \ \infty)\) a rośnie w przedziale \((m_2 \ , \ m_1)\)
nas interesuje najmniejsza wartość funkcji f(m) w przedziale \(<2 \ , \ 4>\), ponieważ maksimum znajduje się w tym przedziale, należy zbadać końce tego przedziały, tj wartość f(2) oraz f(4)
\(f(2) = \frac 1 3 \\
f(4) = \frac 3 {17} \\
f(2) > f(4)\)
stąd najmniejsza wartość wyrażenia \(x+y\) wynosi: \(1 + 3 \cdot \frac 3 {17} = \frac {26} {17}\)
odp. \(\frac {26} {17}\)