równanie trygonometryczne i funkcja wymierna.

[anhilatorlukas]

Zad1.Rozwiąż równanie cos2(x+pi3)+4sin(x+pi3)=52

Zad2.Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których nierówność
-3<(x2+ax-2)(x2-x+1)<2 jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą.
Odp.a(-1;2)

[psikus]

Zad.2. Najpierw trzeba zauwazyc, ze \(x^2-x+1>0\). Trzeba rozwiazac uklad nierownosci:
\(frac{x^2+ax-2}{x^2-x+1}<2\)
\(frac{x^2+ax-2}{x^2-x+1}>-3\)
Z pierwszej nierownosci mamy:
\(frac{x^2+ax-2-2x^2+2x-2}{x^2-x+1}=frac{-x^2+(a+2)x-4}{x^2-x+1}<0\)
\(-x^2+(a+2)x-4<0\)
\(Delta=a^2+4a-12<0\)
\(Delta_a=64\)
\(a_1=-6, a_2=2\)
\(ain(-6,2)\)
Druga nierownosc:
\(frac{x^2+ax-2+3x^2-3x+3}{x^2-x+1}=frac{4x^2+(a-3)x+1}{x^2-x+1}>0\)
\(4x^2+(a-3)x+1>0\)
\(Delta=a^2-6a-7<0\)
\(Delta_a=64\)
\(a_1=-1,a_2=7\)
\(ain(-1,7)\)
Pozostalo wyznaczyc iloczyn przedzilow:
\((-6,2)cap(-1,7)=(-1,2)\)
W Zad.1 wszystko jest ok? Bo mnie wychodzi rownanie sprzeczne.

[anhilatorlukas]

Do 1 zad. mam w odpowiedzi \(x=frac{-pi}{6}+2kpi\) lub \(x=frac{pi}{2}+2kpi\) \(kin(C)\)
Z równaniem jest wszystko w porządku.

[qwerty18]

Do 1 zad. mam w odpowiedzi \(x=frac{-pi}{6}+2kpi\) lub \(x=frac{pi}{2}+2kpi\) \(kin(C)\)
Z równaniem jest wszystko w porządku.

Też przeliczyłem pierwsze zadanie i wyszła mi sprzeczność, tzn wyszło mi że sin>1

[psikus]

Policzylem drugi raz i wychodzi mi (korzystajac z jedynki trygonometrycznej i podstawieniu\(t=sin (x+frac{pi}{3})\), ze jedyny pierwiastek to \(sin x=2-frac{1}{2}sqrt{10}\)

[anhilatorlukas]

Napiszę może tak. Może ta 2 za cosinusem was zmyliła.On nie jest do kwadratu tylko podwojony kąt.
\(cos2(x+frac{pi}{3})+4sin(x+frac{pi}{3})=frac{5}{2}\)

[psikus]

Zad.1.
\(cos 2(x+frac{pi}{3})+4sin (x+frac{pi}{3})=frac{5}{2}\)
\(1-2sin^2 (x+frac{pi}{3})+4sin (x+frac{pi}{3})=frac{5}{2}\)
\(sin (x+frac{pi}{3})=t, tinlangle -1,1rangle\)
\(-2t^2+4t-frac{3}{2}=0\)
\(4t^2-8t+3=0\)
\(Delta=16\)
\(t_1=frac{1}{2}\) lub \(t_2=frac{3}{2}notinlangle -1,1rangle\)
\(sin (x+frac{pi}{3})=frac{1}{2}\)
\(x+frac{pi}{3}=frac{pi}{6}+2kpi\) lub \(x+frac{pi}{3}=frac{5pi}{6}+2kpi\), gdzie \(kin C\)
\(x=-frac{pi}{6}+2kpi\) lub \(x=frac{pi}{2}+2kpi\)

[supergolonka]

http://www.zadania.info/5445984