Wykaż , że
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Wykaż , że
Wykaż , że jeżeli x,y,z są liczbami rzeczywistymi oraz x+y+z=1 to \(x^2+y^2+z^2 \geq \frac {1}{3}\)
- anka
- Expert
- Posty: 6584
- Rejestracja: 29 sty 2009, 23:25
- Podziękowania: 30 razy
- Otrzymane podziękowania: 1117 razy
- Płeć:
\((a-b)^2 \ge 0\\
a^2+b^2 -2ab \ge 0\\
a^2+b^2 \ge 2ab\)
\(x^2+y^2\ge 2xy\\
y^2+z^2\ge 2yz\\
z^2+x^2\ge 2zx\)
Dodając stronami otrzymujemy:
\(2(x^2+y^2+z^2)\ge 2xy+2yz+2zx\)
\(x+y+z=1 \ /()^2\\
(x+y+z)^2=1\\
x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=1\\
x^2+y^2+z^2+2(x^2+y^2+z^2)\ge 1\\
3(x^2+y^2+z^2)\ge 1\\
x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\)
a^2+b^2 -2ab \ge 0\\
a^2+b^2 \ge 2ab\)
\(x^2+y^2\ge 2xy\\
y^2+z^2\ge 2yz\\
z^2+x^2\ge 2zx\)
Dodając stronami otrzymujemy:
\(2(x^2+y^2+z^2)\ge 2xy+2yz+2zx\)
\(x+y+z=1 \ /()^2\\
(x+y+z)^2=1\\
x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=1\\
x^2+y^2+z^2+2(x^2+y^2+z^2)\ge 1\\
3(x^2+y^2+z^2)\ge 1\\
x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\)
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.