bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu:
wiedząc, że \(sinx+cosx= \frac{1}{ \sqrt{2} }\)
oblicz:
1.
\(sinx \cdot cosx\)
2.
\(|sinx - cosx|\)
3.
\(sin ^{3}x + \ cos ^{3}x\)
4.
\(sin ^{4}x+cos ^{4} x\)
dziekuję
wiedząc, że sin+cos=...
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
anka
- Expert
- Posty: 6587
- Rejestracja: 29 sty 2009, 23:25
- Podziękowania: 30 razy
- Otrzymane podziękowania: 1117 razy
- Płeć:
1.
\(sinx+cosx=\frac{1}{\sqrt2} \ / () ^{2} \\
sin ^{2} x+cos ^{2} x+2sinxcosx=\frac{1}{2} \\
1+2sinxcosx=\frac{1}{2} \\
2sinxcosx=-\frac{1}{2} \\
sinxcosx=-\frac{1}{4}\)
2.
\(|sinx-cosx|= \sqrt{(sinx-cosx) ^{2} } = \sqrt{sin^2x+cos^2-2sinxcosx}= \sqrt{1-2sinxcosx}=\\
\sqrt{1-(-\frac{1}{2})}= \sqrt{1+\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt6}{2}\)
3.
\(sin ^{3}x + \ cos ^{3}x=(sinx+cosx)(sin^2x-sinx cosx +cos^2x)=\frac{1}{\sqrt2} (1-sinx cosx)=\\
\frac{1}{\sqrt2} \cdot (1-(-\frac{1}{4}))=\frac{1}{\sqrt2} \cdot (1+\frac{1}{4})=\frac{1}{\sqrt2} \cdot \frac{5}{4}=\frac{5 sqrt2}{8}\)
4.
\(sin ^{4}x+cos ^{4} x=(six^2x+cos^2x)^2-2sin^2xcos^2x=1^2-2(sinxcosx)^2=1-2 \cdot (-\frac{1}{4})^2=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}\)
\(sinx+cosx=\frac{1}{\sqrt2} \ / () ^{2} \\
sin ^{2} x+cos ^{2} x+2sinxcosx=\frac{1}{2} \\
1+2sinxcosx=\frac{1}{2} \\
2sinxcosx=-\frac{1}{2} \\
sinxcosx=-\frac{1}{4}\)
2.
\(|sinx-cosx|= \sqrt{(sinx-cosx) ^{2} } = \sqrt{sin^2x+cos^2-2sinxcosx}= \sqrt{1-2sinxcosx}=\\
\sqrt{1-(-\frac{1}{2})}= \sqrt{1+\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt6}{2}\)
3.
\(sin ^{3}x + \ cos ^{3}x=(sinx+cosx)(sin^2x-sinx cosx +cos^2x)=\frac{1}{\sqrt2} (1-sinx cosx)=\\
\frac{1}{\sqrt2} \cdot (1-(-\frac{1}{4}))=\frac{1}{\sqrt2} \cdot (1+\frac{1}{4})=\frac{1}{\sqrt2} \cdot \frac{5}{4}=\frac{5 sqrt2}{8}\)
4.
\(sin ^{4}x+cos ^{4} x=(six^2x+cos^2x)^2-2sin^2xcos^2x=1^2-2(sinxcosx)^2=1-2 \cdot (-\frac{1}{4})^2=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}\)
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.