wiedząc, że tg\alpha \ + \ ctg \alpha = 4

[celia11]

bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu:

wiedząc, że \(tg\alpha \ + \ ctg \alpha = 4\)

oblicz:

1.

\(|tg\alpha-ctg\alpha|\)

2.

\(tg ^{2} \alpha + ctg ^{2} \alpha\)

3.

\(tg ^{3}\alpha +ctg ^{3} \alpha\)

4.

\(tg ^{4} \alpha +ctg ^{4} \alpha\)

dziekuję

[Kasienka]

\(tg\alpha=\frac{1}{ctg\alpha}\\\frac{1}{ctg\alpha}+ctg\alpha=4\\1+ctg^2\alpha-4ctg\alpha=0\\ \Delta=16-4=12\\ctg\alpha=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3} \ lub \ ctg\alpha=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}\\ tg\alpha=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3} \ lub \ tg\alpha=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}\)

obliczysz sobie dalej?

[belferkaijuz]

\(jezeli\\tg\alpha+ctg\alpha=4\\to\\(tg\alpha+ctg\alpha)^2=16\\tg^2{\alpha}+2tg\alpha*ctg\alpha+ctg^2{\alpha}=16\)
czyli \(tg^2{\alpha}+ctg^2{\alpha}=14\) "#"
bo
\(tg{\alpha}ctg\alpha=1\) ##
powyższe rowności oznaczyłam "#"oraz ## .W dalszym ciągu będę się na nie powoływać.
1)\(|tg\alpha-ctg\alpha|=\sqrt{(tg\alpha-ctg\alpha)^2}=\\\sqrt{tg^2\alpha+ctg^2\alpha-2tg\alpha*ctg\alpha=\)
korzystam z równości "#" i ##
\(=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\).
2)to już jest obliczone patrz "#"
3) \(tg^3\alpha+ctg^3\alpha=(tg\alpha+ctg\alpha)(tg^2\alpha-tg\alpha*ctg\alpha+ctg^2\alpha)\)
korzystam z danych,z"#"i z ## i otrzymuję
\(tg^3\alpha+ctg^3alpha=4*(14-1)=52\)
4) \(tg^4\alpha+ctg^4\alpha=(tg^2\alpha+ctg^2\alpha)^2-2*tg^2\alpha*ctg^2\alpha\)
podstaw "#" i ## i dokończ.
mam nadzieję,że podoba Ci się ten sposób

[celia11]

tak, dziękuję bardzo:)
pozdrawiam

[celia11]

jednak nie wiem

\(tg^4\alpha+ctg^4\alpha=\)

skad wziął sie ten zapis?


\((tg^2\alpha+ctg^2\alpha)^2-2*tg^2\alpha*ctg^2\alpha\)

czy jest jakiś wzór skróconego mnożenia na
\(tg^4\alpha+ctg^4\alpha=\)

[belferkaijuz]

\(a^4+b^4=(a^2)^2+(b^2)^2=(a^2)^2+2a^2b^2+(b^2)^2-2a^2b^2=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2\)
dodałam i odjęłam \(2a^2b^2\) aby otrzymać dwumian do potęgi drugiej.cześć

[celia11]

dziękuję:)