ile jest równań postaci...(2 parametry)

[betonowy_lukasz]

ile jest równań postaci
\(x^2-px+q=0\)
które mają dwa pierwiastki mniejsze od 7
\(p, q \in C_+\)

[Pol]

Narysujmy dowolny wykres funkcji kwadratowej, spełniający warunki zadania:

Przechwytywanie.PNG (14.96 KiB) Przejrzano 2114 razy

założenia:

1) \(x_w \ < \ 7\)

2) \(\Delta \ \ge \ 0\)

3) \(x_2 \ < \ 7\)

rozwiązujemy powyższe nierówności (uwzględniając także \(p, q \in C_+\)):

1) \(x_w = \frac{-(-p)}{2 \cdot 1} \ < \ 7 \ \Rightarrow \ p \ < \ 14\)

(ten warunek będziemy uwzględniać od razu przy rozwiązywaniu kolejnych założeń, w celu ułatwienia obliczeń)

2) \(\Delta = p^2-4q \ \ge \ 0 \ \ \Rightarrow \ \ 14 \ > \ p \ \ge \ 2\sqrt{q} \ \ \Rightarrow \ \ q \ < \ 49 \ \wedge \ q \ \le \ \frac{p^2}{4}\)

3)
\(x_2= \frac{p+\sqrt{p^2-4q}}{2} \ < \ 7
p+\sqrt{p^2-4q} \ < \ 14
\sqrt{p^2-4q} \ < \ 14 - p
q \ > \ 7p-49\)

podsumowując mamy:

\(\{7p-49 \ < \ q \ \le \ 49
q \ \le \ \frac{p^2}{4}
p \ < \ 14 \ \Rightarrow \ p \in \{1,2,3,...,13\}\)

aby podać pary \((p,q)\) spełniające założenia, można podstawiać pod \(p\) liczby całkowite z przedziału \(<1;13>\) i sprawdzać jakie wartości całkowite może dla takiego \(p\) przyjmować \(q\)

np. dla \(p=8\):

\(\{7 \cdot 8-49 \ < \ q \ \le \ 49
q \ \le \ \frac{8^2}{4}\)\(\ \Rightarrow \\)\(\{7 \ < \ q \ \le 49
q \ \le \ 16\)\(\ \Rightarrow \\)\(q \in \{8,9,10,11,12,13,14,15,16}\)

tzn, dla \(p = 8\) mamy \(9\) par \((p,q)\)

np \((8,8)\) czyli równanie ma postać \(x^2-8x+8=0\)
np \((8,13)\) czyli równanie ma postać \(x^2-8x+13=0\)
np \((8,16)\) czyli równanie ma postać \(x^2-8x+16=0\)

[Sarken]

Czemu dajesz w warunku, że delta jest większa lub równa, jak masz mieć dwa różne rozwiązania.

Czy 0 należy do liczb całkowitych dodatnich? Dużo przypadkó od tego zależy.

[ness16]

Czemu dajesz w warunku, że delta jest większa lub równa, jak masz mieć dwa różne rozwiązania.

Czy 0 należy do liczb całkowitych dodatnich? Dużo przypadkó od tego zależy.

W poleceniu nie pisało, że muszą być dwa różne pierwiastki, więc uwzględnia się także pierwiastek dwukrotny.
0 nie jest liczbą dodatnią.