Rozwiąż nierówność |2x-3| + |2x+3| < x+6

[fakis6]

Rozwiąż nierówność \(|2x-3| + |2x+3| < x+6\)

[maria19]

Wyszlo mi -2,4<x<0 sprawdź.

[janusz55]

Najpierw należy przedstawić w prostszej postaci wyrażenie \( |2x-3|+ |2x+3|\).

Miejsca zerowe wyrażeń \( 2x-3\) i \( 2x+3, \) to jest liczby \( \frac{3}{2} \) i \( -\frac{3}{2} \) dzielą oś liczbową na przedziały:

\( \left(-\infty; -\frac{3}{2}\right), \ \ \left[-\frac{3}{2}; \frac{3}{2} \right), \ \ \left[\frac{3}{2}; +\infty\right).\)

Badając znak każdego z tych wyrażeń \( 2x-3 \) i \( 2x+3\) w tych przedziałach, otrzymujemy

\( |2x-3|+ |2x+3|=\begin{cases} -(2x+3) -(2x-3) = -4x, \ \ \ \text{gdy}, \ \ x<-\frac{3}{2} \\ (2x+3) -(2x-3) = 6 \ \ \text{gdy}, \ \ -\frac{3}{2}\leq x < \frac{3}{2} \\ (2x+3) + (2x-3) = 4x \ \ \text{gdy}, \ \ x\geq \frac{3}{2}. \end{cases}\)

Stąd widzimy, że

\( |2x-3|+ |2x+3|< x+6 \leftrightarrow \left(-4x <x+6 \wedge x< -\frac{3}{2}\right) \vee \left( 6 < x+6 \wedge -\frac{3}{2} \leq x < \frac{3}{2} \right)\vee \left( 4x <x+6 \wedge x\geq \frac{3}{2} \right)\)

\( \leftrightarrow \left (x> -\frac{6}{5} \wedge x< -\frac{3}{2} \right) \vee \left( x>0 \wedge -\frac{3}{2} \leq x < \frac{3}{2} \right) \vee \left(x<2 \wedge x\geq \frac{3}{2} \right) \leftrightarrow \{\emptyset \} \vee \left( 0 < x < \frac{3}{2}\right) \vee \left(\frac{3}{2}\leq x <2 \right ) \leftrightarrow (0 < x < 2). \)

Rozwiązaniem nierówności jest przedział \( 0< x < 2.\)

[maria19]

@fakis Gdybyś potrzebował rozwiązania nierówności |2x+3| + |2x+3| <x + 6, to jest to zbiór jaki napisano w drugim poście

[Jerry]

Interpretacja geometryczna:

desmos-graph.png (11.28 KiB) Przejrzano 63 razy

Pozdrawiam