Rozwiąż równania (trygonometria)

[avleyi]

Rozwiąż równania:
a) \( \sin x + \cos^2x + 1 = 0 \)
b) \( \sin^2x +0,25 = \sin x \)
c) \( \sin x\cdot \cos2x = 0 \)
d) \( \sin(2x - \frac{ \pi }{4})\cdot \cos(3x - 1) = 0 \)
e) \( 2\sin^2x + 7\sin x = 4 \)
f) \( \cos^2x - 2\cos x = 0 \)
g) \( ( \sqrt{2} - \sin x)^2 = 0,5 \)
h) \( \cos^2(2x - \pi) - 4\cos(2x - \pi) = 5 \)
i) \( 3\tg^32x - \tg2x = 0 \)
j) \( 2\cos^3x +\cos x - 5\cos x + 2 = 0 \)

[kerajs]

Równania kwadratowe:

a) \( sinx + 1-sin^2x + 1 = 0 \)
b) \( sin^2x +0,25 = sinx \)
e) \( 2sin^2x + 7sinx = 4 \)
f) \( cos^2x - 2cosx = 0 \)
g) \( ( \sqrt{2} - sinx)^2 = 0,5 \)
h) \( cos^2(2x - \pi) - 4cos(2x - \pi) = 5 \)

a,b,e,g podstawienie \(t=\sin x\) , w f podstawienie to \(t=\cos x\) , a w h to \(t= cos(2x - \pi)\)

te są źle przepisane

i) \( 3tg^32x - tgx2x = 0 \)
j) \( 2cos^3x + cosx - 5cosx + 2 = 0 \)

a tu

c) \( sinx\cdot cos2x = 0 \)
d) \( sin(2x - \frac{ \pi }{4})\cdot cos(3x - 1) = 0 \)

każdy z czynników przyrównaj do zera.

[avleyi]

racja w i) powinno być \( 3tg^32x - tg2x = 0 \)

[kerajs]

\( 3\tg^32x - \tg2x = 0 \\
3\tg 2x(\tg 2x- \frac{1}{ \sqrt{3} })(\tg 2x+ \frac{1}{ \sqrt{3} })=0 \)
Każdy z czynników przyrównaj do zera.

[Jerry]

Jeśli

Rozwiąż równania:
j) \( 2\cos^3x +\cos^{\color{red}{2}} x - 5\cos x + 2 = 0 \)

Rozpatrzmy
\(w(t)=2t^3+t^2-5t+2=2t^3-2t^2+3t^2-3t-2t+2=2t^2(t-1)+3t(t-1)-2(t-1)=\\ \quad=(t-1)(2t^2+3t-2)=2(t-1)(t+2)\left(t-{1\over2}\right)\)
gdzie \(t=\cos x\wedge t\in\langle-1;1\rangle\)
\(w(t)=0\iff t\in\{{1\over2},1\}\)
Pozostaje rozwiązać
\[\cos x={1\over2}\vee\cos x=1\]
Pozdrawiam