Dowód nierówności

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
xenoneq_o0
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 7
Rejestracja: 26 kwie 2021, 14:36
Podziękowania: 4 razy
Płeć:

Dowód nierówności

Post autor: xenoneq_o0 » 13 maja 2022, 19:58

Udowodnij, że \( \forall_{a,b\ge 0} (a+b)(a^{2022}+ b^{2022}) \ge (a^{2} +b^{2})(a^{2021}+b^{2021}) \)

Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 15943
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9513 razy
Płeć:

Re: Dowód nierówności

Post autor: eresh » 13 maja 2022, 21:04

xenoneq_o0 pisze:
13 maja 2022, 19:58
Udowodnij, że \( \forall_{a,b\ge 0} (a+b)(a^{2022}+ b^{2022}) \ge (a^{2} +b^{2})(a^{2021}+b^{2021}) \)
\((a+b)(a^{2022}+b^{2022})-(a^2+b^2)(a^{2021}+b^{2021})=\\=a^{2023}+ab^{2022}+a^{2022}b+b^{2023}-a^{2023}-a^2b^{2021}-a^{2021}b^2-b^{2023}=\\=ab^{2022}+a^{2022}b-a^2b^{2021}-a^{2021}b^2=ab(b^{2021}+a^{2021}-ab^{2020}-a^{2020}b)=\\=ab(b^{2020}(b-a)-a^{2020}(b-a)=ab(b-a)(b^{2020}-a^{2020})=ab(a-b)(a^{2020}-b^{2020})=\\=ab(a-b)(a-b)(a^{2019}+a^{2018}b+a^{2017}b^2+...+b^{2019})\geq 0\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2098
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 29 razy
Otrzymane podziękowania: 985 razy

Re: Dowód nierówności

Post autor: Jerry » 13 maja 2022, 21:22

Dana nierówność jest równoważna, dla \(a,b\ge0\), kolejno:
\((a+b)(a^{2022}+ b^{2022}) \ge (a^{2} +b^{2})(a^{2021}+b^{2021})\\
a^{2023}+ab^{2022}+a^{2022}b+b^{2023}\ge a^{2023}+a^2b^{2021}+a^{2021}b^2+b^{2023}\\
ab(a^{2021}+b^{2021}-a^{2020}b-ab^{2020})\ge0\\
ab[a^{2020}(a-b)-b^{2020}(a-b)]\ge0\\
ab(a-b)(a^{2020}-b^{2020})\ge0\\
ab(a-b)^2(a^{2019}+a^{2018}b+\ldots+ab^{2018}+b^{2019})\ge0\)
co jest prawdą dla nieujemnych \(a,b\) (równość zachodzi dla \(ab=0\) lub \(a=b\)), zatem dana nierówność jest prawdziwa. CKD

Pozdrawiam
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .