Dowód nierówności

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
poetaopole
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 345
Rejestracja: 15 kwie 2009, 07:26
Podziękowania: 189 razy
Płeć:

Dowód nierówności

Post autor: poetaopole » 14 sty 2022, 08:14

Udowodnij, że dla dowolnego \(a\) i dowolnego \(b>1\) zachodzi: \(a ^{2} -ab+b ^{2}>a \)
Ostatnio zmieniony 14 sty 2022, 13:43 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości, cała "matematyka" w [tex] [/tex]

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2508
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 23 razy
Otrzymane podziękowania: 1095 razy
Płeć:

Re: Dowód nierówności

Post autor: kerajs » 14 sty 2022, 10:34

\(a ^{2} -ab+b ^{2}-a>0 \\
\frac{1}{2} ((a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)(b+1))>0
\)

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1719
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 23 razy
Otrzymane podziękowania: 807 razy

Re: Dowód nierówności

Post autor: Jerry » 14 sty 2022, 13:42

Albo, bardziej po uczniowsku, rozpatrzmy funkcje:
\[f_b(a)=a ^{2} -ab+b ^{2}-a=a^2-(b+1)a+b^2\quad\wedge a\in\rr\wedge b>1\]
Ponieważ
\[\Delta(b)=(b+1)^2-4b^2=-3b^2+2b+1=(-3b^2-b)+(3b+1)=-(b-1)(3b+1)\]
dla \(b>1\) przylmuje wartości ujemne, to
\[\forall_{a\in\rr}f_b(a)>0\]
Pozdrawiam
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .

Icanseepeace
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 274
Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 153 razy
Płeć:

Re: Dowód nierówności

Post autor: Icanseepeace » 14 sty 2022, 14:32

Moja propozycja:
Dla \( a \leq 0 \) nierówność jest prawdziwa ze względu na różne znaki obu stron. Dla pozostałych:
\( L = a^2 - ab + b^2 = (a-b)^2 + ab \geq ab > a = P \)