Zadanie z parametrem i logarytmami

[cheruille]

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których nierówność \( \log_ {\frac{ \sqrt{2} }{2} }(m^2x^2+2mx+2m+1)< \log_ { \frac{ \sqrt{2} }{2} }(x^2+2mx+2m) \) jest spełniona dla wszystkich \(x \in R\)

[Jerry]

1) Dziedzina musi być rzeczywista, czyli
\(\left(m=0\vee m^2-4m^2(2m+1)<0\right)\wedge 4m^2-8m<0\)
2) Ponieważ \(0<{\sqrt2\over2}<1\), to tożsamościowa powinno być nierówność
\(m^2x^2+2mx+2m+1>x^2+2mx+2m \)
\((m^2-1)x^2+1>0\)
zatem
\(m^2-1\ge0\)
Ostatecznie zebranie 1) i 2) doprowadzi do odpowiedzi...

Pozdrawiam

[cheruille]

1) Dziedzina musi być rzeczywista, czyli
\(\left(m=0\vee m^2-4m^2(2m+1)<0\right)\wedge 4m^2-8m<0\)
2) Ponieważ \(0<{\sqrt2\over2}<1\), to tożsamościowa powinno być nierówność
\(m^2x^2+2mx+2m+1>x^2+2mx+2m \)
\((m^2-1)x^2+1>0\)
zatem
\(m^2-1\ge0\)
Ostatecznie zebranie 1) i 2) doprowadzi do odpowiedzi...

Pozdrawiam

Dziękuję bardzo, a mogę zapytać dokładniej jak dojść do punktu 1)? Czemu to musi być mniejsze od zera?

[eresh]

Dziękuję bardzo, a mogę zapytać dokładniej jak dojść do punktu 1)? Czemu to musi być mniejsze od zera?

Bo tylko wtedy funkcja kwadratowa nie będzie miała miejsc zerowych. "To" jest wyróżnikiem (deltą)