Nierówność logarytmiczna

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Januszgolenia
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1258
Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
Podziękowania: 1331 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Nierówność logarytmiczna

Post autor: Januszgolenia » 04 wrz 2020, 06:05

\(log(x-2)+(log(x-2))^2+(log(x-2))^3+....<1\)

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1973
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 13 razy
Otrzymane podziękowania: 847 razy
Płeć:

Re: Nierówność logarytmiczna

Post autor: kerajs » 04 wrz 2020, 07:19

\(1+\log (x-2)+(\log (x-2))^2+(\log (x-2))^3+....<2 \ \ \wedge \ \ x>2 \ \ \wedge \ \ | \log (x-2) | <1 \\
\frac{1}{1-\log (x-2)} <2\\
1-\log(x-2)>\frac12 \\
\log (x-2) < \frac12 \\
x<2+\sqrt{10}\)

Ponadto z założeń mam:
\(x>2 \ \ \wedge \ \ 2+ \frac{1}{10} <x<12\)
więc wynik to:
\(2,1 <x<2+\sqrt{10}\)

Galen
Guru
Guru
Posty: 18351
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 9108 razy

Re: Nierówność logarytmiczna

Post autor: Galen » 06 wrz 2020, 11:35

\(a_1=1\\q=log(x-2)\;\;\;\;\;i\;\;\;\;x-2>0\;\;\;czyli\;\;\;x>2\\-1<log(x-2)<1\\log(10)^{-1}<log(x-2)<log10^1\\\frac{1}{10}<x-2<10\\2,1<x<12\)
To masz dziedzinę ,w której rozwiążesz nierówność z zastosowaniem wzoru na sumę szeregu geometrycznego...
\(S=\frac{a_1}{1-q}\\\frac{1}{1-log(x-2)}<1\\Mianownik \;jest\; dodatni\\1<1-log(x-2)\\log(x-2)<0\\x-2>0\;\;\;i\;\;\;x-2<1\\x>2\;\;i\;\;x<3\\x\in(2;3)\)
Uwzględniając dziedzinę otrzymasz odpowiedź
\(x\in(2,1\;;\;3)\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1973
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 13 razy
Otrzymane podziękowania: 847 razy
Płeć:

Re: Nierówność logarytmiczna

Post autor: kerajs » 06 wrz 2020, 15:35

Galen pisze:
06 wrz 2020, 11:35
rozwiążesz nierówność z zastosowaniem wzoru na sumę szeregu geometrycznego...
\(S=\frac{a_1}{1-q}\\\frac{1}{1-log(x-2)}<1\)
Akurat w tym zadaniu \(a_1=\log (x-2)\) , więc wynik powyższa nierówność i wynikający z niej wynik jest błędny.

Galen
Guru
Guru
Posty: 18351
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 9108 razy

Re: Nierówność logarytmiczna

Post autor: Galen » 06 wrz 2020, 16:27

kerajs pisze:
06 wrz 2020, 15:35
Galen pisze:
06 wrz 2020, 11:35
rozwiążesz nierówność z zastosowaniem wzoru na sumę szeregu geometrycznego...
\(S=\frac{a_1}{1-q}\\\frac{1}{1-log(x-2)}<1\)
Akurat w tym zadaniu \(a_1=\log (x-2)\) , więc wynik powyższa nierówność i wynikający z niej wynik jest błędny.
Mam rozumieć,że po lewej stronie nierówności nie ma na pierwszym miejscu liczby 1 ???
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1973
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 13 razy
Otrzymane podziękowania: 847 razy
Płeć:

Re: Nierówność logarytmiczna

Post autor: kerajs » 06 wrz 2020, 17:01

Jak widzisz, w oryginalnej treści:
Januszgolenia pisze:
04 wrz 2020, 06:05
\(log(x-2)+(log(x-2))^2+(log(x-2))^3+....<1\)
nie ma jedynki po lewej stronie.
U mnie była, gdyż dla ułatwienia OBIE strony powiększyłem o 1, jednak wtedy prawa strona nierówności wynosiła 2. Może to przegapiłeś?

Galen
Guru
Guru
Posty: 18351
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 9108 razy

Re: Nierówność logarytmiczna

Post autor: Galen » 06 wrz 2020, 18:58

Obie postaci są równoważne.
Oryginał do moich oczu nie dotarł :shock: :lol: :roll:
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.