Nierówność logarytmiczna

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Januszgolenia
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1608
Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
Podziękowania: 1680 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Nierówność logarytmiczna

Post autor: Januszgolenia »

\(log_{2}(x-1)+log_{2}(x+1)+log_{ \frac{x+1}{x-1} }2>0\)
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: Nierówność logarytmiczna

Post autor: kerajs »

Pewnie miało być
\(\log_{2}(x-1)\color{red}{-} \log_{2}(x+1)+\log_{ \frac{x+1}{x-1} }2>0\)
gdyż moim zdaniem, w pierwotnej postaci rozwiązanie można znaleźć tylko metodami aproksymującymi lub numerycznymi.
Ostatnio zmieniony 06 lip 2020, 12:27 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa kodu
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3462
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: Nierówność logarytmiczna

Post autor: Jerry »

A gdyby
kerajs pisze: 06 lip 2020, 12:07 Pewnie miało być \(\log_{2}(x-1)\color{red}{-} \log_{2}(x+1)+\log_{ \frac{x+1}{x-1} }2>0\)
to nierówność jest równoważna w \(D=(1;+\infty)\)
\(t-{1\over t}>0\)
gdzie \(t=\log_2{x-1\over x+1}\wedge t<0\)

Pozdrawiam
Januszgolenia
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1608
Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
Podziękowania: 1680 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Re: Nierówność logarytmiczna

Post autor: Januszgolenia »

Rzeczywiście ma być - a nie +
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Nierówność logarytmiczna

Post autor: eresh »

Januszgolenia pisze: 06 lip 2020, 05:48 \(log_{2}(x-1)-log_{2}(x+1)+log_{ \frac{x+1}{x-1} }2>0\)

\(x-1>0\;\;\wedge\;\;x+1>0\;\;\wedge\;\;\frac{x+1}{x-1}>0\;\;\wedge\;\;\frac{x+1}{x-1}\neq 1\\
D=(1,\infty)
\)


\(\log_2(x-1)-\log_2(x+1)+\frac{1}{\log_2\frac{x+1}{x-1}}>0\\
-(\log_2(x+1)-\log_2(x-1))+\frac{1}{\log_2\frac{x+1}{x-1}}>0\\
-\log_2\frac{x+1}{x-1}+\frac{1}{\log_2\frac{x+1}{x-1}}>0\\
\log_2\frac{x+1}{x-1}=t\\
t-\frac{1}{t}<0\\
t^3-t<0\\
t(t^2-1)<0\\
t(t-1)(t+1)<0\\
t\in (-\infty,-1)\cup (0,1)\\
\log_2\frac{x+1}{x-1}<-1\;\;\vee\;\;0<\log_2\frac{x+1}{x-1}<1\\
\log_2\frac{x+1}{x-1}<\log_20,5\;\;\vee\;\;\log_21<\log_2\frac{x+1}{x-1}>\log_22\\
\frac{x+1}{x-1}<0,5\;\;\vee\;\;1<\frac{x+1}{x-1}<2\\
(x\in (-3,1)\;\;\vee\;\;\;x\in (3,\infty))\wedge\;x\in D\\
x\in (3,\infty)

\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: Nierówność logarytmiczna

Post autor: kerajs »

Skoro dziedziną jest \(x>1\) to wiadomo, iż \(t=\log_2 \frac{x+1}{x-1} \) jest liczbą dodatnią, co znacznie skraca powyższe obliczenia.
ODPOWIEDZ