suma kwadratów pierwiastków

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
hyprj
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 13
Rejestracja: 31 maja 2020, 13:01
Podziękowania: 15 razy
Płeć:

suma kwadratów pierwiastków

Post autor: hyprj »

Oblicz sumę kwadratów pierwiastków równania:
\({2}^{ \sqrt{x}-1} +{2}^{2- \sqrt{x}}=3 \)
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: suma kwadratów pierwiastków

Post autor: eresh »

\(x\geq 0\\
2^{\sqrt{x}-1}+2^{-(\sqrt{x}-2)}=3\\
2^{\sqrt{x}-1}+2^{-(\sqrt{x}-1-1)}=3\\
2^{\sqrt{x}-1}+\frac{2}{2^{\sqrt{x}-1}}=3\\
2^{\sqrt{x}-1}=t\\
t+\frac{2}{t}=3\\
t^2+2-3t=0\\
t=2\;\;\vee\;\;t=1\\
2^{\sqrt{x}-1}=2\;\;\vee\;\;2^{\sqrt{x}-1}=1\\
\sqrt{x}-1=1\;\;\vee\;\;\sqrt{x}-1=0\\
\sqrt{x}=2\;\;\vee\;\;\sqrt{x}=1\\
x=4\;\;\;\vee\;\;x=1\\
4^2+1^2=17
\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Sciurius
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 49
Rejestracja: 05 maja 2020, 16:38
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9 razy
Płeć:

Re: suma kwadratów pierwiastków

Post autor: Sciurius »

Mała poprawka
\(x_1 = 4\) i \(x_2 =1\) są pierwiastkami równania więc suma ich kwadratów jest równa:
\(4^2 + 1^2 =17\)
Pozdrawiam

Sciurius
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: suma kwadratów pierwiastków

Post autor: eresh »

Sciurius pisze: 03 cze 2020, 18:33 Mała poprawka
\(x_1 = 4\) i \(x_2 =1\) są pierwiastkami równania więc suma ich kwadratów jest równa:
\(4^2 + 1^2 =17\)
racja, już poprawiam :)
dzięki :)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
hyprj
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 13
Rejestracja: 31 maja 2020, 13:01
Podziękowania: 15 razy
Płeć:

Re: suma kwadratów pierwiastków

Post autor: hyprj »

eresh pisze: 03 cze 2020, 17:48 \(x\geq 0\\
2^{\sqrt{x}-1}=t\\
\)
Dziękuję za pomoc :) Mam jeszcze jedno pytanie, w odpowiedziach widzę, że należało założyć, że \(t \ge 1\) i nie wiem dlaczego.
Sciurius
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 49
Rejestracja: 05 maja 2020, 16:38
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9 razy
Płeć:

Re: suma kwadratów pierwiastków

Post autor: Sciurius »

Nie wiem czemu akurat \( \ge 1\) (chyba że t było określone jako \(t=2^{\sqrt{x}}\) wtedy to ma sens)
ogólnie:
\(x \ge 0 \to \sqrt{x} \ge 0 \to to \sqrt{x} -1 \ge -1 \to 2^{\sqrt{x} -1} \ge \frac{1}{2} \) dla \(t=2^{\sqrt{x}}\) analogicznie
Można to dopisać ale jak pamiętasz o założeniu dla x to zauważysz że np. jak \(t= \frac{1}{4} \) to:
\(2^{\sqrt{x} -1}= \frac{1}{4} \)
\(\sqrt{x} -1=-2\)
\(\sqrt{x}=-1\) sprzeczność
Pozdrawiam

Sciurius
ODPOWIEDZ