nierówność z wartością bezwgl i parametrem
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
nierówność z wartością bezwgl i parametrem
Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których nierówność \({x}^{2}+4\left|x-a\right|- {a}^{2} \ge 0\) jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste.
- Jerry
- Expert
- Posty: 3458
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1895 razy
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10381 razy
- Płeć:
Re: nierówność z wartością bezwgl i parametrem
\(x^2-a^2+4|x-a|\geq 0\\
(x-a)(x+a)+4|x-a|\geq 0\)
1.
\(x-a\geq 0\;\So x\geq a\\
(x-a)(x+a)+4(x-a)\geq 0\\
(x-a)(x+a+4)\geq 0\;\; \bez :(x-a)>0\\
x+a+4\geq 0\\
x\geq -a-4\;\;\wedge\;\;x\geq a\\\)
nierówność ma być spełniona przez wszystkie \(x\geq a\), czyli
\(-a-4\leq a\\
-2a\leq 4\\
a\geq -2\)
2.
\(x-a< 0\;\So x< a\\
(x-a)(x+a)-4(x-a)\geq 0\\
(x-a)(x+a-4)\geq 0\;\; \bez :(x-a)<0\\
x+a-4\leq 0\\
x\leq -a+4\;\;\wedge\;\;x< a\\
-a+4\geq a\\
-2a\geq -4\\
a\leq 2\)
(x-a)(x+a)+4|x-a|\geq 0\)
1.
\(x-a\geq 0\;\So x\geq a\\
(x-a)(x+a)+4(x-a)\geq 0\\
(x-a)(x+a+4)\geq 0\;\; \bez :(x-a)>0\\
x+a+4\geq 0\\
x\geq -a-4\;\;\wedge\;\;x\geq a\\\)
nierówność ma być spełniona przez wszystkie \(x\geq a\), czyli
\(-a-4\leq a\\
-2a\leq 4\\
a\geq -2\)
2.
\(x-a< 0\;\So x< a\\
(x-a)(x+a)-4(x-a)\geq 0\\
(x-a)(x+a-4)\geq 0\;\; \bez :(x-a)<0\\
x+a-4\leq 0\\
x\leq -a+4\;\;\wedge\;\;x< a\\
-a+4\geq a\\
-2a\geq -4\\
a\leq 2\)
Odpowiedź: \(a\in [-2,2]\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
Re: nierówność z wartością bezwgl i parametrem
Hm, jeśli \(x \ge a \) to czy możemy podzielić wyrażenie przez (x-a), skoro ono może być zerem?
-
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
Re: nierówność z wartością bezwgl i parametrem
Dla bezpieczeństwa warto sprawdzić ,podstawiając za a wartości skrajne.
\(a=-2\\oraz\\a=2\)
Wtedy wszystko się wyjaśni.
\(a=-2\\oraz\\a=2\)
Wtedy wszystko się wyjaśni.
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.