Równanie wykładnicze

[Januszgolenia]

Rozwiąż równanie.
\((2+ \sqrt{3})^x+(2- \sqrt{3})^x\)=4

[grdv10]

Wskazówka: \(2-\sqrt{3}=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}.\) Pomnóz obustronnie przez \(2+\sqrt{3}\) i wstaw nową zmienną \(t=(2+\sqrt{3})^x\), a dojdziesz do równania kwadratowego.

[eresh]

Rozwiąż równanie.
\((2+ \sqrt{3})^x+(2- \sqrt{3})^x\)=4

Spoiler

\((2+ \sqrt{3})^x+(2- \sqrt{3})^x=4\\
(2+\sqrt{3})^x+\frac{1}{(2+\sqrt{3})^x}=4\\
(2+\sqrt{3})^x=t\\
t+\frac{1}{t}=4\\
t^2+1=4t\\
t^2-4t+1=0\\
\Delta = 12=(2\sqrt{3})^2\\
t_1=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}\\
t_2=2+\sqrt{3}\\
(2+\sqrt{3})^x=2-\sqrt{3}\So x=-1\\
(2-\sqrt{3})^x=2-\sqrt{3}\So x=1\)

[Galen]

Zauważ,że \((2+\sqrt{3})\cdot (2-\sqrt{3})=4-3=1\\stąd\\2-\sqrt{3}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=(2+\sqrt{3})^{-1}\\2+\sqrt{3}=t\\t^x+\frac{1}{t^x}=4\;/\cdot t^x\\(t^x)^2-4t^x+1=0\\wstaw\;t^x=u\;\;i\;\;u>0\\u^2-4u+1=0\\u_1=2-\sqrt{3}\;\;czyli\;\;(2+\sqrt{3})^x=2-\sqrt{3}\;\;\;stąd\;\;x_1=-1\\u_2=2+\sqrt{3}\;\;\;\;czyli\;\;(2+\sqrt{3})^x=2+\sqrt{3}\;\;\;stąd\;\;\;x_2=1\)