Parametr m

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
anything1327
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 11
Rejestracja: 10 lis 2019, 09:18
Podziękowania: 20 razy
Płeć:

Parametr m

Post autor: anything1327 » 11 lut 2020, 16:10

Dla jakich wartości parametru \(m\) różne rozwiązania \(x_1, x_2\) równania \(x^2 + 2x + m - 1 = 0\) spełniają warunek \(|x_1| + |x_2| \leqslant 3\)?
Ostatnio zmieniony 11 lut 2020, 17:00 przez szw1710, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa LaTeX-a

Awatar użytkownika
szw1710
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 244
Rejestracja: 04 sty 2020, 13:47
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 66 razy
Płeć:

Re: Parametr m

Post autor: szw1710 » 11 lut 2020, 17:18

Wyróżnikiem jest \(\Delta=4(2-m)\). Mamy \(\Delta>0\iff m<2.\) Wtedy istnieją dwa rozwiązania równania.

Wzory Viete'a będą tu mało użyteczne. Liczymy bezpośrednio pierwiastki: \(x_1=-1-\sqrt{2-m}\), \(x_2=-1+\sqrt{2-m}.\) Nierówność \(|x_1|+|x_2|\leqslant 3\) ma postać\[|-1-\sqrt{2-m}|+|-1+\sqrt{2-m}|\leqslant 3.\]W pierwszym module można skasować minus i mamy nieco prostszą postać:\[|\sqrt{2-m}+1|+|\sqrt{2-m}-1|\leqslant 3.\]Teraz wstawiamy \(t=\sqrt{2-m}\) (oczywiście \(t\geqslant 0\)).Dochodzimy do nierówności\[|t+1|+|t-1|\leqslant 3,\] której rozwiązania (po uwzględnieniu \(t\geqslant 0\)) spełniają warunek \(0\leqslant t\leqslant\dfrac{3}{2}.\) Dochodzimy więc do nierówności\[0\leqslant \sqrt{2-m}\leqslant\frac{3}{2}.\]Lewa nierówność jest prawdziwa. Po podniesieniu do kwadratu mamy \(2-m\leqslant\dfrac{9}{4},\) czyli \(m\geqslant-\dfrac{1}{4}.\) Biorąc pod uwagę warunek \(m<2\), mamy\[m\in\left\langle-\frac{1}{4},2\right\rangle.\]
Oglądaj moją playlistę Matura rozgrzewka.

Awatar użytkownika
Jerry
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 323
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 154 razy

Re: Parametr m

Post autor: Jerry » 11 lut 2020, 22:39

Z wzorów Viete'a, oczywiście po uwzględnieniu \(\Delta > 0\), też idzie nie najgorzej:

\(|x_1| + |x_2| = \sqrt{(|x_1| + |x_2|)^2}=\sqrt{(x_1 + x_2)^2-2x_1x_2+2|x_1x_2|}=\sqrt{(-2)^2-2(m-1)+2|m-1|}\)

Pozostaje rozwiązać nierówność...

Pozdrawiam