Witam, zadanie to:
-Udowodnij że równanie ma tylko jedno rozwiązanie: x=1.
x^8-2x^4+x^2-2x+2=0
Co zrobiłem:
popatrzyłem na wyraz wolny i znalazłem x=1
Podzieliłem całe równanie przez x-1, wynik:
(x-1)(x^7+x^6+x^5+x^4-x^3-x^2-2)=0
Z pierwszego nawiasu jest 1 miejsce zerowe lecz z drugiego nie mamy nic: patrząc na dzielniki wyrazu wolnego nie ma ono żadnych pierwiastków.
Czy taka argumentacja jest wystarczająca? Co ewentualnie należałoby zrobić dalej?
Równanie wielomianowe
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Równanie wielomianowe
Niestety nie jest. Stwierdzasz jedynie, że równanie nie ma więcej rozwiązań wymiernych.
Hint:
\((x^4-1)^2+(x-1)^2=0\)
-
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
Re: Równanie wielomianowe
Dobrze jest rozłożyć lewą stronę na sumę lub różnicę wyrażeń,które potrafisz opisać (dodatnie,ujemne,...)GoldenRC pisze: ↑08 sty 2020, 20:21 Witam, zadanie to:
-Udowodnij że równanie ma tylko jedno rozwiązanie: x=1.
x^8-2x^4+x^2-2x+2=0
Co zrobiłem:
popatrzyłem na wyraz wolny i znalazłem x=1
Podzieliłem całe równanie przez x-1, wynik:
(x-1)(x^7+x^6+x^5+x^4-x^3-x^2-2)=0
Z pierwszego nawiasu jest 1 miejsce zerowe lecz z drugiego nie mamy nic: patrząc na dzielniki wyrazu wolnego nie ma ono żadnych pierwiastków.
Czy taka argumentacja jest wystarczająca? Co ewentualnie należałoby zrobić dalej?
\(x^8-2x^4+1+x^2-2x+1=0\\(x^4-1)^2+(x-1)^2=0\)
Po lewej jest suma dwóch wyrażeń nieujemnych,a po prawej jest wartość zero.
Stąd wniosek,że obydwa dodawane wyrażenia muszą mieć wartość zero.
\(x^4-1=0\\x=1\;\;lub\;\;x=-1\\i\\x-1=0\\x=1\)
Oba warunki spełnia tylko \(x=1\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.