Równanie wielomianowe

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
GoldenRC
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 30
Rejestracja: 18 paź 2019, 16:57
Podziękowania: 13 razy

Równanie wielomianowe

Post autor: GoldenRC » 08 sty 2020, 21:21

Witam, zadanie to:
-Udowodnij że równanie ma tylko jedno rozwiązanie: x=1.
x^8-2x^4+x^2-2x+2=0
Co zrobiłem:
popatrzyłem na wyraz wolny i znalazłem x=1
Podzieliłem całe równanie przez x-1, wynik:
(x-1)(x^7+x^6+x^5+x^4-x^3-x^2-2)=0
Z pierwszego nawiasu jest 1 miejsce zerowe lecz z drugiego nie mamy nic: patrząc na dzielniki wyrazu wolnego nie ma ono żadnych pierwiastków.
Czy taka argumentacja jest wystarczająca? Co ewentualnie należałoby zrobić dalej?

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1938
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 12 razy
Otrzymane podziękowania: 832 razy
Płeć:

Re: Równanie wielomianowe

Post autor: kerajs » 08 sty 2020, 21:30

GoldenRC pisze:
08 sty 2020, 21:21
Czy taka argumentacja jest wystarczająca?
Niestety nie jest. Stwierdzasz jedynie, że równanie nie ma więcej rozwiązań wymiernych.


Hint:
\((x^4-1)^2+(x-1)^2=0\)

Galen
Guru
Guru
Posty: 18343
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 9106 razy

Re: Równanie wielomianowe

Post autor: Galen » 09 sty 2020, 18:32

GoldenRC pisze:
08 sty 2020, 21:21
Witam, zadanie to:
-Udowodnij że równanie ma tylko jedno rozwiązanie: x=1.
x^8-2x^4+x^2-2x+2=0
Co zrobiłem:
popatrzyłem na wyraz wolny i znalazłem x=1
Podzieliłem całe równanie przez x-1, wynik:
(x-1)(x^7+x^6+x^5+x^4-x^3-x^2-2)=0
Z pierwszego nawiasu jest 1 miejsce zerowe lecz z drugiego nie mamy nic: patrząc na dzielniki wyrazu wolnego nie ma ono żadnych pierwiastków.
Czy taka argumentacja jest wystarczająca? Co ewentualnie należałoby zrobić dalej?
Dobrze jest rozłożyć lewą stronę na sumę lub różnicę wyrażeń,które potrafisz opisać (dodatnie,ujemne,...)
\(x^8-2x^4+1+x^2-2x+1=0\\(x^4-1)^2+(x-1)^2=0\)
Po lewej jest suma dwóch wyrażeń nieujemnych,a po prawej jest wartość zero.
Stąd wniosek,że obydwa dodawane wyrażenia muszą mieć wartość zero.
\(x^4-1=0\\x=1\;\;lub\;\;x=-1\\i\\x-1=0\\x=1\)
Oba warunki spełnia tylko \(x=1\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.