ciag geometryczny

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
marekpsi
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 5
Rejestracja: 07 gru 2022, 14:43
Podziękowania: 5 razy

ciag geometryczny

Post autor: marekpsi »

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny an okreśclony dla \(n\neq 1\), w którym \(a_1<0\). Suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest skończona i spełnia nierówność \(S\geq 9a_2-3a_1\). Wykaż, że \(3a_{2023}=2a_{2022}\)
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: ciag geometryczny

Post autor: eresh »

marekpsi pisze: 30 mar 2023, 22:24 Dany jest nieskończony ciąg geometryczny an okreśclony dla \(n\neq 1\), w którym \(a_1<0\). Suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest skończona i spełnia nierówność \(S\geq 9a_2-3a_1\). Wykaż, że \(3a_{2023}=2a_{2022}\)
\(|q|<1\\
S\geq 9a_2-3a_1\\
\frac{a_1}{1-q}\geq 9a_1q-3a_1\\
\frac{1}{1-q}\leq 9q-3\\
1-q\leq (9q-3)(1-q)^2\\
(1-q)(1-(9q-3)(1-q))\leq 0\\
(1-q)(1-9q+9q^2+3-3q)\leq 0\\
(1-q)(9q^2-12q+4)\leq 0\\
9(1-q)(q-\frac{2}{3})^2\leq 0\\
q=\frac{2}{3}
\)


\(3a_{2023}=3a_1q^{2022}=3a_1\cdot (\frac{2}{3})^{2022}=3a_1\cdot \frac{2}{3}\cdot (\frac{2}{3})^{2021}=2a_1\cdot (\frac{2}{3})^{2021}=2a_{2022}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
pinkfl33
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 5
Rejestracja: 26 mar 2023, 22:43
Podziękowania: 1 raz

Re: ciag geometryczny

Post autor: pinkfl33 »

A dlaczego taki wzór na sumę
\(\frac{a_1}{1-q}\)
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: ciag geometryczny

Post autor: eresh »

pinkfl33 pisze: 31 mar 2023, 10:27 A dlaczego taki wzór na sumę
\(\frac{a_1}{1-q}\)
bo to wzór na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
pinkfl33
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 5
Rejestracja: 26 mar 2023, 22:43
Podziękowania: 1 raz

Re: ciag geometryczny

Post autor: pinkfl33 »

\(S_n= \begin{cases}a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q} \ dla \ q \neq 1 \\ a_1 \cdot n \ dla \ q=1 \end{cases} \)

to nie to samo
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: ciag geometryczny

Post autor: eresh »

pinkfl33 pisze: 31 mar 2023, 10:37 \(S_n= \begin{cases}a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q} \ dla \ q \neq 1 \\ a_1 \cdot n \ dla \ q=1 \end{cases} \)

to nie to samo
to jest wzór na sumę n początkowych wyrazów, w zadaniu jest mowa o sumie wszystkich wyrazów
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
ODPOWIEDZ